5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $\Omega=\{(x,y)\in[-2,2]\times[-2,2]:|x|+|y|\geq1,\ \left||x|-|y|\right|\leq1\}$. Vjerojatnost da se točka $(x,y)$ nalazi u $\Omega$ jednaka je omjeru površine skupa $\Omega$ i površine skupa $[-2,2]\times[-2,2]$. Drugi skup je kvadrat stranice duljine $4$. Kako bismo odredili površinu skupa $\Omega$, nacrtat ćemo ga u ravnini, promatrajući nejednakost po nejednakost.

Promatrajući po kvadrantima dobivamo da nejednakost $|x|+|y|\geq1$ zadovoljavaju točke koje leže u komplementu unutrašnjosti kvadrata s vrhovima u $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ i $(0,-1)$.

Nejednakost $\left||x|-|y|\right|\leq1$ ekvivalentna je s $-1\leq|x|-|y|\leq1$. Promatrajući zasebno za prvi i treći kvadrant, pa za drugi i četvrti kvadrant, dobivamo područje na slici.

Uzimajući presjek dobivenih skupova i kvadrata $[-2,2]\times[-2,2]$, dobivamo osjenčani dio ravnine na sljedećoj slici.

Površinu osjenčanog dijela (skupa $\Omega$) izračunat ćemo kao četverostruku površinu osjenčanog dijela u jednom kvadrantu. U svakom kvadrantu osjenčan je jedan kvadrat stranice duljine $\sqrt2$ i jedan jednakokračan pravokutni trokut kateta duljine $1$. Zato je površina skupa $\Omega$ jednaka

$$4\cdot\left(\sqrt2^2+\frac{1\cdot1}{2}\right)=10.$$

Površina kvadrata $[-2,2]\times[-2,2]$ je jednaka $16$, pa je tražena vjerojatnost $\frac{10}{16}=\frac58$.

Napomena: Površinu skupa $\Omega$ moguće je izračunati na više načina, npr. kao zbroj površina osam trapeza dobivenih crtanjem dijagonala velikog kvadrata ili oduzimanjem površina neosjenčanih likova od površine velikog kvadrata.

Drugo rješenje.

Neka je $\Omega$ kao u prvom rješenju.

Ako se točka $(x,y)$ nalazi u skupu $\Omega$, onda se u njemu nalaze i točke $(-x,y)$ i $(x,-y)$. Zato je skup $\Omega$ osnosimetričan u odnosu na $x$-os i $y$-os, pa je dovoljno odrediti omjer površine skupa $\Omega$ u prvom kvadrantu i površine kvadrata $[0,2]\times[0,2]$.

Prva nejednakost u prvom kvadrantu postaje $x+y\geq1$, a druga nejednakost postaje $-1\leq x-y\leq1$.

Točke koje zadovoljavaju te uvjete unutar $[0,2]\times[0,2]$ čine osjenčani dio na slici:

Uočimo da kvadrat $[0,2]\times[0,2]$ možemo podijeliti na osam sukladnih trokuta kao na slici, od kojih je pet osjenčano. Zato je tražena vjerojatnost jednaka $\frac58$.