6. Zadatak

Neka je $B(b^2-4,b)$ i $C(c^2-4,c)$ za neke realne brojeve $b$ i $c$. Primijetimo da je nemoguće da je $c=\pm2$ ili $c=\pm b$ jer bi se u suprotnom neke dvije od točaka $A$, $B$ i $C$ poklapale, ili bi ležale na pravcu paralelnom s $x$-osi.

Koeficijenti pravaca $AC$ i $BC$ iznose redom

$$\frac{c-2}{c^2-4}=\frac1{c+2} \qquad\text{i}\qquad \frac{c-b}{c^2-b^2}=\frac1{c+b}.$$

Pravci $AC$ i $BC$ su međusobno okomiti, što znači da je

$$\frac1{c+2}\cdot\frac1{c+b}=-1,$$

ili drugačije zapisano

$$c^2+bc+2c+2b+1=0.$$

Želimo naći sve točke $B$ na paraboli za koje postoji točka $C$ na paraboli sa svojstvom da je kut $\angle ACB$ pravi, što je ekvivalentno tome da nađemo realne brojeve $b$ za koje kvadratna jednadžba po $c$

$$c^2+(b+2)c+2b+1=0$$

ima realna rješenja. Za to je nužno i dovoljno da je diskriminanta te jednadžbe nenegativna, tj.

$$(b+2)^2-4(2b+1)\geq0.$$

To zadovoljavaju brojevi $b$ za koje je $b(b-4)\geq0$, odnosno $b\leq0$ ili $b\geq4$.

Tražene točke su sve točke oblika $B=(b^2-4,b)$, gdje je $b\in(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$.