2. Zadatak

Tri uzastopna koeficijenta u razvoju $(1+x)^n$ su oblika $\binom n{k-1}$, $\binom nk$, $\binom n{k+1}$, pri čemu je $k$ prirodni broj manji od $n$.

Budući da je

$$\binom n{k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!\cdot(n-k+1)},$$ $$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!\cdot k},$$

nakon kraćenja zajedničkih faktora dobivamo $\frac34=\frac{k}{n-k+1}$.

Analogno dobivamo $\frac45=\frac{k+1}{n-k}$.

Sređivanjem dobivamo sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} 3n-7k&=-3,\\ 4n-9k&=5, \end{aligned}$$

čije jedino rješenje glasi $n=62$, $k=27$.

Dakle, jedini prirodni broj iz teksta zadatka je $n=62$.