7. Zadatak

Dokažimo da je odgovor $n(n+1)$.

Neka u nastavku segment označava dužinu duljine $1$.

Sa svakom stranicom početnog trokuta paralelno je

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

segmenata.

Ako obojimo svih $n(n+1)$ segmenata koji su paralelni jednoj od dvije stranice početnog trokuta, onda ne postoji jednakostranični trokut sa sve tri crvene stranice.

Još je potrebno dokazati da ne možemo obojiti više od $n(n+1)$ segmenata, a da ne postoji jednakostranični trokut sa tri crvene stranice.

Osjenčajmo trokute kojima je vrh nasuprot stranice paralelne donjoj stranici početnog trokuta okrenut prema gore, kao na slici. Baze tih trokuta su segmenti paralelni s donjom stranicom trokuta, pa tih trokuta ima $\frac12n(n+1)$.

Nikoja dva od tih trokuta nemaju zajedničku stranicu. Kada bi više od $n(n+1)$ segmenata bilo obojeno u crveno, tada bi po Dirichletovom principu barem jedan od osjenčanih trokuta imao sve tri stranice obojene u crveno. Zato je $n(n+1)$ najveći broj segmenata koji može biti obojen u crveno.