3. Zadatak

Prvo rješenje.

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Baza indukcije vrijedi jer je broj $2-3+1=0$ djeljiv sa $7$.

Pretpostavimo sada da za neki prirodni broj $n$ tvrdnja vrijedi, tj. da je broj

$$A_n=\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}-3^n+1$$

djeljiv sa $7$. Vrijedi:

$$\begin{aligned} A_{n+1} &=\underbrace{22\ldots2}_{(n+1)\text{ znamenaka}}-3^{n+1}+1\\ &=10\cdot\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}+2-3^{n+1}+1\\ &=10\left(\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}-3^n+1\right)+10\cdot3^n-10+2-3^{n+1}+1\\ &=10A_n+10\cdot3^n-3^{n+1}-7\\ &=10A_n+10\cdot3^n-3\cdot3^n-7\\ &=10A_n+7(3^n-1). \end{aligned}$$

Broj $A_{n+1}$ smo prikazali kao zbroj dva broja djeljiva sa $7$, pa je i on sam djeljiv sa $7$. Time smo proveli korak indukcije, pa prema principu matematičke indukcije slijedi tvrdnja zadatka.

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Nakon što provjerimo bazu indukcije, pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$ i dokazujemo za $n+1$:

$$\begin{aligned} A_{n+1} &=\underbrace{22\ldots2}_{(n+1)\text{ znamenaka}}-3^{n+1}+1\\ &=\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}+2\cdot10^n-3^{n+1}+1\\ &=\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}-3^n+1+2\cdot10^n-3^{n+1}+3^n\\ &=A_n+2\cdot10^n-3^{n+1}+3^n\\ &=A_n+2\cdot10^n-2\cdot3^n\\ &=A_n+2(10^n-3^n). \end{aligned}$$

Kako je

$$10^n-3^n=(10-3)(10^{n-1}+10^{n-2}\cdot3+\ldots+10\cdot3^{n-2}+3^{n-1}),$$

vidimo da je taj izraz djeljiv sa $7$.

Po pretpostavci indukcije je i $A_n$ djeljiv sa $7$, pa je i

$$\underbrace{22\ldots2}_{(n+1)\text{ znamenaka}}-3^{n+1}+1$$

djeljiv sa $7$ kao zbroj dva takva broja. Time je dokazan korak indukcije, pa prema principu matematičke indukcije slijedi tvrdnja zadatka.

Treće rješenje.

Koristeći činjenicu da brojevi $10$ i $3$ daju isti ostatak pri dijeljenju sa $7$, dobivamo niz jednakosti i kongruencija:

$$\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}-3^n+1 =2\cdot(10^{n-1}+10^{n-2}+\ldots+10+1)-3^n+1 \equiv2\cdot(3^{n-1}+3^{n-2}+\ldots+3+1)-3^n+1\pmod{7}.$$

Primijenimo li formulu za zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza, dobivamo

$$\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ znamenaka}}-3^n+1 \equiv2\cdot\frac{3^n-1}{2}-3^n+1=0\pmod{7}.$$

Iz toga zaključujemo da je broj s lijeve strane jednakosti djeljiv sa $7$, a to je i trebalo dokazati.