4. Zadatak

Prvo rješenje

Označimo s $O$ polovište dužine $|AC|$. Budući da je to polovište hipotenuza trokuta pravokutnih trokuta $ABC$ i $ACD$, zaključujemo da sve četiri točke $A$, $B$, $C$ i $D$ leže na kružnici sa središtem u $O$.

Kut $\angle BOD$ je središnji kut nad tetivom $BD$ pa imamo

$$|\angle BOD| =2|\angle BAD| =2(360^\circ-|\angle ABC|-|\angle BCD|-|\angle CDA|) =120^\circ.$$

Kako je trokut $BOD$ jednakokračan i $|\angle BOD|=120^\circ$ imamo da je

$$|\angle DBO|=|\angle ODB| =\frac{180^\circ-|\angle BOD|}{2} =30^\circ.$$

Neka je $N$ polovište dužine $BD$.

U pravokutnom trokutu $OND$ imamo

$$\frac12|BD|=|ND|=|OD|\cdot\cos|\angle ODB|,$$

odnosno $|OD|=\sqrt3$.

Nadalje, imamo

$$|ON|=|OD|\sin|\angle ODN|=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Uočimo da je

$$|MN|=|DM|-|DN|=\frac12.$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $ONM$ dobivamo

$$|OM|=\sqrt{|ON|^2+|MN|^2}=1.$$

Iz tigonometrije u pravokutnom trokutu $ONM$ slijedi da je

$$\sin|\angle AMB| =\sin|\angle OMN| =\frac{|ON|}{|OM|} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Konačno možemo izračunati površinu četverokuta $ABCD$. Imamo da je

$$P(ABCD) =\frac{|AC|\cdot|BD|\cdot\sin|\angle AMB|}{2} =\frac92.$$

Drugo rješenje

Primijetimo da je

$$\begin{aligned} |MD| &=\frac{\sin|\angle MAD|}{\sin|\angle DMA|}\cdot|AD|\\ &=\frac{\sin|\angle MAD|}{\sin|\angle DMA|} \cdot\cos|\angle CAD|\cdot|AC|. \end{aligned}$$

Analogno je

$$\begin{aligned} |MB| &=\frac{\sin|\angle BAM|}{\sin|\angle AMB|}\cdot|AB|\\ &=\frac{\sin|\angle BAM|}{\sin|\angle AMB|} \cdot\cos|\angle BAC|\cdot|AC|. \end{aligned}$$

Budući da je $\sin|\angle DMA|=\sin|\angle AMB|$, dijeljenjem ove dvije jednakosti dobijemo

$$2=\frac{|MD|}{|MB|} =\frac{\sin|\angle MAD|\cdot\cos|\angle MAD|} {\sin|\angle BAM|\cdot\cos|\angle BAM|} =\frac{\sin 2|\angle MAD|}{\sin 2|\angle BAM|}.$$

S druge strane znamo da je

$$\begin{aligned} |\angle MAD|+|\angle BAM| &=|\angle BAD|\\ &=360^\circ-|\angle ABC|-|\angle BCD|-|\angle CDA|\\ &=60^\circ. \end{aligned}$$

Rješavanjem sustava

$$\begin{cases} |\angle MAD|+|\angle BAM|=60^\circ,\\ \sin 2|\angle MAD|=2\sin 2|\angle BAM| \end{cases}$$

dobijemo $|\angle MAD|=45^\circ$ i $|\angle BAM|=15^\circ$.

Budući da je $|\angle ABC|+|\angle CDA|=180^\circ$, zaključujemo da je četverokut $ABCD$ tetivan.

Sada je

$$\begin{aligned} |\angle DMA| &=|\angle DCM|+|\angle MDC|\\ &=(90^\circ-|\angle MAD|)+|\angle BDC|\\ &=45^\circ+|\angle BAC|\\ &=60^\circ. \end{aligned}$$

Uvrštavanjem svih poznatih veličina u

$$|MD| =\frac{\sin|\angle MAD|}{\sin|\angle DMA|} \cdot\cos|\angle CAD|\cdot|AC|,$$

dobijemo

$$|AC|=2\sqrt3.$$

Sada je

$$\begin{aligned} P(ACD) &=\frac{|AD|\cdot|CD|}{2}\\ &=\frac{\cos|\angle CAD|\cdot|AC|\cdot \sin|\angle CAD|\cdot|AC|}{2}\\ &=3. \end{aligned}$$

Na isti način je

$$\begin{aligned} P(ABC) &=\frac{|AB|\cdot|BC|}{2}\\ &=\frac{\cos|\angle BAC|\cdot|AC|\cdot \sin|\angle BAC|\cdot|AC|}{2}\\ &=\frac32. \end{aligned}$$

Konačno, vidimo da je

$$P(ABCD)=P(ABC)+P(ACD)=\frac92.$$