2. Zadatak

Množenjem zagrada i kraćenjem zajedničkih članova s obje strane dobijemo da je sustav ekvivalentan sustavu

$$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2y&\geq1,\\ \sin^2y+\cos^2z&\geq1,\\ \sin^2z+\cos^2x&\geq1. \end{aligned}$$

Zbrajanjem ovih nejednakosti dobijemo

$$3\leq(\sin^2x+\cos^2y)+(\sin^2y+\cos^2z)+(\sin^2z+\cos^2x).$$

Budući da je

$$\begin{aligned} 3&\leq(\sin^2x+\cos^2y)+(\sin^2y+\cos^2z)+(\sin^2z+\cos^2x)\\ &=(\sin^2x+\cos^2x)+(\sin^2y+\cos^2y)+(\sin^2z+\cos^2z)\\ &=1+1+1=3, \end{aligned}$$

zaključujemo da se u sve tri nejednakosti postiže jednakost.

Stoga je

$$\sin^2x=1-\cos^2y=\sin^2y.$$

Budući da su $x$ i $y$ šiljasti kutovi, njihovi sinusi su pozitivni pa je

$$\sin x=\sin y,$$

odnosno

$$x=y.$$

Analogno slijedi i $x=z$.

Sva rješenja zadovoljavaju $x=y=z$. Direktnom provjerom se vidi da svi takvi $x,y,z$ zaista jesu rješenja sustava.