5. Zadatak
Neka je prirodni broj. U nekoj državi koriste se kovanice svih apoena od do . Kolekcionar želi dio svojih kovanica rasporediti u pet kutija tako da budu ispunjena sljedeća četiri uvjeta:
- U svakoj je kutiji najviše jedna kovanica svakog apoena.
- U svim je kutijama isti broj kovanica i jednak iznos novca.
- Bilo koje dvije kutije zajedno sadrže barem jednu kovanicu svakog apoena.
- Kovanice niti jednog apoena ne nalaze se u svim kutijama.
Pod pretpostavkom da kolekcionar ima dovoljno kovanica svakog apoena, može li postići svoj cilj ako je
(a) ?
(b) ?
(a)
Primijetimo da se svaki apoen nalazi u točno četiri kutije. Zaista, kada bi se neki apoen nalazio u tri kutije ili manje, bio bi narušen treći uvjet. S druge strane, četvrti uvjet zahtjeva da se svaki apoen ne nalazi u barem jednoj kutiji.
Označimo s broj kovanica u svakoj kutiji.
Ukupan broj kovanica u kutijama je s jedne strane , jer se u svakoj od kutija nalazi kovanica, a s druge strane je , jer se svaki apoen nalazi u točno kutije odnosno,
Dakle, mora biti djeljiv s da bi kolekcionar uspio u svom naumu, odnosno ne može postići svoj cilj kada je .
(b)
Za , kolekcionar može postići željeni cilj na sljedeći način. Rasporedimo apoene u grupa, , , , , .
- U prvu kutiju ćemo staviti sve apoene osim i .
- U drugu kutiju ćemo staviti sve apoene osim i .
- U treću kutiju ćemo staviti sve apoene osim i .
- U četvrtu kutiju ćemo staviti sve apoene osim i .
- U petu kutiju ćemo staviti sve apoene osim i .
Na ovaj način je svaki apoen u točno četiri kutije, u svakoj kutiji se nalazi apoena, te je zbroj apoena u svakoj kutiji jednak .