1. Zadatak

Prvo rješenje

Budući da je

$$\log_2 x=\frac{1}{\log_x2},\qquad \log_2 y=\frac{1}{\log_y2},\qquad \log_2 y^2=2\log_2y$$

i $\log_2x^2=2\log_xx$, dobijemo sustav

$$\begin{aligned} (\log_2x)^2-2\log_2y&=3,\\ (\log_2y)^2-2\log_2x&=3. \end{aligned}$$

Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobijemo

$$0=(\log_2x-\log_2y)(\log_2x+\log_2y+2).$$

Stoga je $\log_2x-\log_2y=0$ ili $\log_2x+\log_2y+2=0$.

Ako je $\log_2y=\log_2x$, uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobijemo

$$0=(\log_2x)^2-2\log_x-3=(\log_2x-3)(\log_2x+1),$$

odnosno $y=x=\frac12$ ili $y=x=8$.

Ako je $\log_2y=-2-\log_2x$, uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobijemo

$$0=(\log_2x)^2+2\log_2x+1=(\log_2x+1)^2,$$

odnosno $y=x=\frac12$.

Uvrštavanjem u polazne jednadžbe vidimo da su $(8,8)$ i $\left(\frac12,\frac12\right)$ zaista rješenja.

Drugo rješenje

Kao u prvom rješenju dobijemo

$$\begin{aligned} (\log_2x)^2-2\log_2y&=3,\\ (\log_2y)^2-2\log_2x&=3. \end{aligned}$$

Označimo li $t=\log_2x$, imamo

$$\log_2y=\frac{(\log_2x)^2-3}{2}=\frac{t^2-3}{2}.$$

Uvrštavanjem u drugu jednadžbu dobijemo

$$0=\left(\frac{t^2-3}{2}\right)^2-2t-3 =\frac{t^4-6t^2-8t-3}{4}.$$

Uočimo da $t=3$ i $t=-1$ jesu rješenja ove jednadžbe.

Primijetimo da je

$$0=t^4-6t^2-8t-3=(t-3)(t+1)^3$$

pa zaključujemo da su $t=3$ i $t=-1$ jedina rješenja ove jednadžbe.

Slučaj $t=3$ nam daje $(x,y)=(8,8)$ kao kandidata za rješenje, a slučaj $t=-1$ nam daje $(x,y)=\left(\frac12,\frac12\right)$ kao kandidata za rješenje.

Uvrštavanjem u polazne jednadžbe vidimo da su $(8,8)$ i $\left(\frac12,\frac12\right)$ zaista rješenja.