4. Zadatak

Prema uvjetima zadatka vrijedi

$$\angle DAB=\angle ABC=\angle BDC=80^\circ,\qquad \angle ABD=30^\circ,\qquad \angle ADB=70^\circ.$$

Neka je $|DB|=|DC|=x$, a $|AD|=y$. Neka su $Q$ i $P$ redom nožišta okomica iz $A$ i $C$ na $BD$. Želimo pokazati da se točke $Q$ i $P$ zapravo podudaraju.

Primjenom trigonometrije u trokutima $DPC$, $DQA$ i $DBA$ dobivamo

$$|DP|=x\cos80^\circ,\qquad |DQ|=y\cos70^\circ,\qquad \frac{x}{y}=\frac{\sin80^\circ}{\sin30^\circ}.$$

Iz ovih jednakosti dobivamo

$$\frac{|DP|}{|DQ|} =\frac{x\cos80^\circ}{y\cos70^\circ} =\frac{\sin80^\circ\cos80^\circ}{\sin30^\circ\cos70^\circ},$$

tj. $|DP|=|DQ|$ ako i samo ako je

$$\sin80^\circ\cos80^\circ=\sin30^\circ\cos70^\circ.$$

Ova jednakost je točna jer vrijedi

$$\sin30^\circ=\frac12,\qquad \sin80^\circ\cos80^\circ =\frac12\sin160^\circ =\frac12\sin20^\circ =\sin30^\circ\cos70^\circ.$$

Dakle, točke $Q$ i $P$ su jednako udaljene od točke $D$, pa zaključujemo da se podudaraju. Iz toga slijedi da je $AC$ okomito na $BD$.