1. Zadatak

Označimo $t=\sin x$. Budući da je $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, slijedi $t\in[0,1]$.

Za $t\in[0,1]$ vrijedi

$$\frac{2t^2+2}{t+1}\le2.$$

Naime,

$$\frac{2t^2+2}{t+1}\le2 \Longleftrightarrow\frac{2t^2-2t}{t+1}\le0 \Longleftrightarrow\frac{t(t-1)}{t+1}\le0.$$

Za $t\in[0,1]$ nazivnik je pozitivan, a brojnik nepozitivan, pa posljednja nejednakost vrijedi. Stoga izraz na lijevoj strani dane jednadžbe iznosi najviše $2$.

S druge strane, za svaki izbor para $(x,y)$ vrijedi $3+\cos(x+y)\ge2$. Time smo pokazali da je

$$\frac{2\sin^2x+2}{\sin x+1}\le3+\cos(x+y).$$

Jednakost se postiže ako i samo ako su obje strane jednake $2$, što je moguće jedino ako je $\sin x=0$ ili $\sin x=1$, te $\cos(x+y)=-1$. Budući da je $x+y\in[0,\pi]$, jedino rješenje je

$$(x,y)=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$