5. Zadatak

Tvrdimo da je za svaki $n$ najmanji mogući broj cijelih brojeva jednak $2$.

Neka je $x_1,x_2,\ldots,x_{2n}$ dobar niz realnih brojeva. Ako je $n=1$, onda $x_1$ i $x_2$ moraju biti cijeli brojevi. Neka je sada $n>1$.

Zbog uvjeta za $m=1$, $x_1$ ili $x_{2n}$ mora biti cijeli broj. Budući da je $x_1+\cdots+x_n$ ili $x_{n+1}+\cdots+x_{2n}$ cijeli broj, a i zbroj im je cijeli broj, vidimo da oba ta broja moraju biti cijeli.

Nadalje, $x_1+\cdots+x_{n-1}$ ili $x_{n+2}+\cdots+x_{2n}$ mora biti cijeli broj. Ako je $x_1+\cdots+x_{n-1}$ cijeli, budući da je $x_1+\cdots+x_n$ cijeli, zaključujemo da je $x_n$ cijeli broj. Analogno, ako je $x_{n+2}+\cdots+x_{2n}$ cijeli, vidimo da $x_{n+1}$ mora biti cijeli. Dakle, $x_n$ ili $x_{n+1}$ mora biti cijeli broj.

Time smo pokazali da barem dva člana dobrog niza moraju biti cijeli brojevi.

Sada dokažimo da za svaki prirodni broj $n$ postoji dobar niz realnih brojeva s točno dva cijela broja.

1. Ako je $n$ neparan, definiramo $x_1=x_{n+1}=1$ i $x_k=\frac12$ za sve ostale $k\in\{1,\ldots,2n\}$. Neka je $1\le m\le n$. Za neparan $m$ zbroj prvih $m$ članova je

$$1+(m-1)\cdot\frac12,$$

što je cijeli broj. Za paran $m$ zbroj zadnjih $m$ članova je $m\cdot\frac12$, što je u ovom slučaju cijeli broj.

Ako je $m>n$, onda prema dokazanom vidimo da je zbroj prvih ili zadnjih $2n-m$ članova cijeli broj, pa kako je $x_1+\cdots+x_{2n}$ cijeli broj, vidimo da i zbroj prvih ili zadnjih $m$ članova mora biti cijeli broj.

2. Ako je $n$ paran, definiramo niz $x_1=x_n=1$ i $x_k=\frac12$ za sve ostale $k\in\{1,\ldots,2n\}$. Ponovno je dovoljno dokazati da je zbroj prvih ili zadnjih $m$ članova cijeli broj za $m<n$. U ovom slučaju za neparan $m$ zbroj prvih $m$ članova je

$$1+(m-1)\cdot\frac12,$$

a za paran $m$ zbroj zadnjih $m$ članova je $m\cdot\frac12$, pa vidimo da je navedeni niz dobar.