3. Zadatak

Neka je $n$ prirodan broj takav da $n^2$ ima navedena svojstva.

Broj $n^2$ je djeljiv s $10$ ako i samo ako je $n$ djeljiv s $10$, pa je

$$n^2=m^2\cdot100^k,$$

za neke $m\in\mathbb N$, $k\in\mathbb N_0$, pri čemu $10\nmid m$.

Iz danih uvjeta slijedi da je

$$m^2=\overline{a00\ldots00b}=a\cdot10^l+b,$$

pri čemu je $a,b\ne0$, $l\in\mathbb N$ te je $a=3$ ili $b=3$.

Zadnja znamenka broja $m^2$, odnosno $b$, mora biti u skupu $\{1,4,5,6,9\}$. Dakle, $a=3$, pa je

$$m^2=3\cdot10^l+b,\qquad b\in\{1,4,5,6,9\}.$$

Broj je djeljiv s $4$ ako i samo ako mu zadnje dvije znamenke daju broj djeljiv s $4$. Zaključujemo da ako je $b=6$, onda je $l=1$, tj.

$$m^2=36,\qquad n^2=36\cdot100^k=(6\cdot10^k)^2.$$

Promatranjem ostataka koje $m$ daje pri dijeljenju s $9$, vidimo da $m^2$ može davati ostatke $0,1,4$ i $7$. Kako je $m^2\equiv3+b\pmod9$, vidimo da ne može biti $b=5$ ni $b=9$.

Preostaje nam promotriti slučajeve kad je $b=1$ i $b=4$. Tada je

$$3\cdot2^l\cdot5^l=3\cdot10^l=m^2-c^2=(m-c)(m+c),$$

za $c=1$ ili $c=2$.

Najveća zajednička mjera $M$ faktora $m-c$ i $m+c$ dijeli njihovu razliku $2c$, pa je $M\in\{1,2,4\}$. Zbog ovoga točno jedan od brojeva $m-c$ i $m+c$ može biti djeljiv s $5$.

Mora biti $l\ge2$ jer $31$ i $34$ nisu kvadrati prirodnih brojeva, pa kako je $m+c>m-c$, vidimo da $m+c$ mora biti djeljiv s $5^l$.

Vrijedi

$$2c=(m+c)-(m-c)\ge5^l-3\cdot2^l.$$

Kako je $5^l-3\cdot2^l>4$, za svaki $l\ge2$ vidimo da je ovo nemoguće. Dakle, ne može biti $b=1$ ni $b=4$.

Zaključujemo da su svi traženi kvadrati prirodnih brojeva oblika

$$36\cdot100^k,\qquad k\in\mathbb N_0.$$