2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrajanjem jednadžbi dobivamo

$$2a^2=\sqrt3ab+\sqrt2ac,$$

pa budući da je $a\ne0$, dijeljenjem s $2a$ dobivamo

$$a=\frac{\sqrt3b+\sqrt2c}{2}.$$

Sada uvrstimo dobiveno u prvu jednadžbu. Imamo

$$\frac{3b^2+2\sqrt6bc+2c^2}{4}+b^2-c^2 =\frac{3b^2+2\sqrt6bc}{2},$$

odakle nakon množenja s $4$ dobijemo

$$7b^2+2\sqrt6bc-2c^2=6b^2+2\sqrt6bc,$$

iz čega slijedi $b^2=2c^2$. Kako su $b$ i $c$ pozitivni, korjenovanjem dobivamo $b=\sqrt2c$, pa je

$$b:c=\sqrt2:1.$$

Drugo rješenje.

Vrijedi

$$c^2=a^2+b^2-\sqrt3ab,\qquad b^2=a^2+c^2-\sqrt2ac,$$

pa vidimo da se radi o dva poučka o kosinusu za trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$.

Za odgovarajuće kutove vrijedi

$$\cos\gamma=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos\beta=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Iz ovoga slijedi da je

$$\sin\gamma=\frac12,\qquad \sin\beta=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Konačno, primjenom poučka o sinusima dobivamo

$$b:c=\sin\beta:\sin\gamma=\sqrt2:1.$$