2. Zadatak

Ako je $d=M(x,y)$, možemo pisati $x=da$, $y=db$, pri čemu je $a,b\in\mathbb N$, $M(a,b)=1$.

Neka je $p=\frac{xy^2}{x+y}$. Tada je $p=\frac{da\cdot(db)^2}{da+db}$.

Slijedi $$d^2ab^2=p(a+b).$$

Kako je $M(a,a+b)=M(b,a+b)=M(a,b)=1$, zaključujemo da $ab^2$ dijeli $p$, što je moguće samo ako je $b=1$ (jednadžba postaje $d^2a=p(a+1)$) te $a=1$ ili $a=p$.

Razlikujemo dva slučaja:

1. $a=1$

Tada je $d^2=2p$. Kako je $p$ prost broj, slijedi da $p$ dijeli $d$, a time i $p^2$ dijeli $d^2=2p$. Odatle zaključujemo da $p^2$ dijeli $2p$, pa $p$ dijeli 2. Stoga je $p=2$ i $d=2$. Jedino rješenje u ovom slučaju je $(x,y)=(2,2)$.

2. $a=p$

Tada je $d^2=p+1$, odnosno $(d-1)(d+1)=p$. Kako je $p$ prost broj i $0\le d-1<d+1$, slijedi $d-1=1$ i $d+1=p$. Odavde je $d=2$ i $p=3$ pa je jedino rješenje u ovom slučaju $(x,y)=(6,2)$.

Konačno, traženi parovi su $(x,y)\in\{(2,2),(6,2)\}$.