4. Zadatak

Za $n=2$ nejednakost postaje $$(x_1+x_2)^2\ge4x_1x_2,$$ što je ekvivalentno s $$(x_1-x_2)^2\ge0,$$ pa je $n=2$ jedno rješenje.

Ako je $n=3$, imamo: $$(x_1+x_2+x_3)^2\ge3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1),$$ što je redom ekvivalentno s: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\ge3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1),$$ $$x_1^2+x_2^2+x_3^2\ge x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,$$ $$(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)+(x_2^2-2x_2x_3+x_3^2)+(x_3^2-2x_3x_1+x_1^2)\ge0,$$ $$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2\ge0,$$ što vrijedi pa je $n=3$ također rješenje.

Za $n=4$ nejednakost glasi: $$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\ge4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1),$$ što se može napisati kao $$(x_1-x_2+x_3-x_4)^2\ge0$$ pa nejednakost očito vrijedi, tj. $n=4$ je također rješenje.

Pokažimo da nejednakost ne vrijedi za $n>4$.

Za dani $n$ odaberimo brojeve $x_1=x_2=1$ i $x_3=x_4=\ldots=x_n=\frac1{5(n-2)}$.

Kada bi nejednakost bila zadovoljena, to bi značilo da je: $$\left(1+1+(n-2)\cdot\frac1{5(n-2)}\right)^2\ge n\left(1+\frac2{5(n-2)}+(n-3)\cdot\frac1{25(n-2)}\right).$$

Lijeva strana ove nejednakosti je $\left(2+\frac15\right)^2=\frac{121}{25}<5$, a desna strana je veća od $n$ pa zaključujemo da je $n<5$.

Dakle, jedina rješenja zadatka su $n=2,n=3$ i $n=4$.

Drugi način.

Drugačiji protuprimjer koji pokazuje da $n>4$ nije rješenje:

(i) Ako je $n$ paran, tj. $n=2m$, odaberemo brojeve $$x_1=x_2=\ldots=x_m=1,\quad x_{m+1}=x_{m+2}=\ldots=x_{2m}=2.$$

Lijeva strana nejednakosti tada iznosi: $$L=(m\cdot1+m\cdot2)^2=9m^2,$$ dok je desna strana jednaka $$D=2m((m-1)\cdot1+2+(m-1)\cdot4+2)=2m(5m-1)=10m^2-2m.$$

Nejednakost $L\ge D$ vrijedi ako i samo ako $9m^2\ge10m^2-2m$, tj. ako i samo ako je $m\le2$ (odnosno $n\le4$).

(ii) Ako je $n$ neparan, tj. $n=2m+1$, odaberemo brojeve $$x_1=x_2=\ldots=x_m=1,\quad x_{m+1}=x_{m+2}=\ldots=x_{2m+1}=2.$$

Lijeva strana nejednakosti tada iznosi: $$L=(m\cdot1+(m+1)\cdot2)^2=9m^2+12m+4,$$ dok je desna strana jednaka $$D=(2m+1)((m-1)\cdot1+2+m\cdot4+2)=(2m+1)(5m+3)=10m^2+11m+3.$$

Nejednakost $L\ge D$ vrijedi ako i samo ako $9m^2+12m+4\ge10m^2+11m+3$, tj. ako i samo ako je $m\le1$ (odnosno $n\le3$).