5. Zadatak

Na natjecanju je bilo 30 strijelaca. Svaki natjecatelj gađa 16 puta metu koja je podijeljena na dva dijela, A i B. Ako pogodi u dio A natjecatelj dobiva 10 bodova, a ako pogodi u dio B dobiva 5 bodova. Na kraju natjecanja utvrđeno je da je broj pogodaka u dio B veći od polovine ukupnog broja odapetih strelica te da je ukupan broj promašaja jednak ukupnom broju pogodaka u dio A.

Dokaži da su barem dva natjecatelja ostvarila isti broj bodova.

Rješenje

Prvo rješenje.

Uvedimo sljedeće oznake:

$a_i$ — broj pogodaka $i$ -tog strijelca u dio A,

$b_i$ — broj pogodaka $i$ -tog strijelca u dio B,

$p_i$ — broj promašaja $i$ -tog strijelca.

Pritom vrijedi $a_i+b_i+p_i=16$ za $i=1,\ldots,30$ .

Rezultat $i$ -tog strijelca je $10a_i+5b_i=5a_i+5(16-p_i)=80+5(a_i-p_i)$ . Da bi svi rezultati bili različiti, broj $a_i-p_i$ mora poprimiti 30 različitih vrijednosti. Pretpostavimo da je tako.

Po Dirichletovom principu barem pola tih razlika je istog predznaka. Uzmimo da pozitivnih razlika ima barem 15 (ako je barem 15 negativnih razlika, zaključivanje provodimo za brojeve $p_i-a_i$ ).

Strijelce možemo poredati tako da je to prvih 15 strijelaca i da razlike $a_i-p_i$ rastu.

Dakle, $a_i>p_i$ za $i=1,\ldots,15$ i $a_i-p_i\le a_{i+1}-p_{i+1}$ za $i=1,\ldots,14$ .

Tada je $a_i-p_i\ge i$ , odnosno $a_i\ge i$ .

Imamo $120\le a_1+a_2+\cdots+a_{15}\le a_1+\cdots+a_{30}<\frac{30\cdot16}4=120$ . Kontradikcija.

Time je dokazano da ne može biti 30 različitih razlika $a_i-p_i$ , stoga neka dva strijelca imaju jednak broj bodova.

Drugo rješenje.

Uz oznake $a_i,b_i$ i $p_i$ kao u prvom rješenju označimo: $A=\sum_{i=1}^{30}a_i,\quad B=\sum_{i=1}^{30}b_i\quad\text{i}\quad P=\sum_{i=1}^{30}p_i.$

Vrijedi $P=A$ , $A+B+P=30\cdot16=480$ , odnosno $2A+B=480$ . Iz uvjeta zadatka je $B>240$ pa je $A<120$ . Brojevi $a_i,b_i$ i $p_i$ su nenegativni i vrijedi $a_i+b_i+p_i=16$ , iz čega zaključujemo da je $0\le a_i+b_i\le16$ .

Rezultat $i$ -tog strijelca je $10a_i+5b_i=5(2a_i+b_i)$ . Pretpostavimo da su svi strijelci postigli različit broj bodova, tj. da izraz $2a_i+b_i$ poprima 30 različitih vrijednosti.

Neka je $S=\{i\mid2a_i+b_i>16\}$ , $T=\{i\mid2a_i+b_i\le16\}$ te $l=|S|$ .

Iz činjenice da je $a_i+b_i\le16$ zaključujemo da je $a_i\ge(2a_i+b_i)-16$ .

Sada vrijedi: $120>A\ge\sum_{i\in S}a_i\ge\sum_{i\in S}(2a_i+b_i-16)\ge1+2+\cdots+l=\frac{l(l+1)}2,$ iz čega zaključujemo da je $l<15$ .

S druge strane, $\begin{aligned} 120>A&\ge\sum_{i\in S}a_i\ge\sum_{i\in S}(2a_i+b_i-16)=480-\sum_{i\in T}(2a_i+b_i)-16l\\ &\ge480-(0+1+2+\cdots+16)-16l=480-136-16l \end{aligned}$ iz čega dobijemo $l>14$ , što je kontradikcija. Zaključujemo da je pretpostavka pogrešna pa vrijedi tvrdnja zadatka.