1. Zadatak

Kako je $|SC|=|SA|$, vrijedi $|SD|:|SC|=|SD|:|SA|$, a to možemo izraziti preko kutova primjenom poučka o sinusima u trokutu $ADS$: $$|SD|:|SA|=\sin(\angle DAS):\sin(\angle ADS).$$

Označimo kutove trokuta $ABC$ na uobičajen način s $\alpha,\beta$ i $\gamma$.

Ako $\alpha$ ili $\beta$ nije šiljasti kut, točka $D$ se ne nalazi između točaka $A$ i $B$.

Razlikujemo tri slučaja:

1. slučaj: Trokut $ABC$ šiljastokutan.

Kako je $\angle ASB=2\gamma$, a trokut $ABS$ jednakokračan, vrijedi $\angle DAS=\angle BAS=90^\circ-\gamma$.

Kut $\angle ADS=\angle ADC$ vanjski je kut trokuta $BCD$ pa je $$\angle ADS=\angle ADC=\angle DBC+\angle BCD=\beta+(90^\circ-\alpha).$$

Zato je $$\begin{gathered} \sin(\angle DAS):\sin(\angle ADS)=\sin(90^\circ-\gamma):\sin(\beta+(90^\circ-\alpha))\\ =\cos\gamma:\cos(\beta-\alpha). \end{gathered}$$

Zbog $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$ vrijedi $\cos\gamma=\cos(180^\circ-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)$ pa je: $$|SD|:|SC|=-\cos(\alpha+\beta):\cos(\alpha-\beta).$$

2. slučaj: Trokut $ABC$ je pravokutan s pravim kutom $\gamma$.

Tada se točka $D$ podudara s polovištem hipotenuze $S$ pa je $|SD|=0$. Istovremeno, $\alpha+\beta=90^\circ$ pa je $\cos(\alpha+\beta)=0$. U tom slučaju su obje strane u traženoj jednakosti jednake nuli pa je ona zadovoljena.

3. slučaj: Trokut $ABC$ je tupokutan s tupim kutom $\gamma$.

Tada je $\angle ASB=360^\circ-2\gamma$ pa iz jednakokračnog trokuta $ABS$ zaključujemo $\angle DAS=\angle BAS=\gamma-90^\circ$.

Kut $\angle ADS$ vanjski je kut trokuta $ADC$ pa je $$\angle ADS=\angle CAD+\angle ACD=\alpha+(90^\circ-\beta).$$

Zato je $$\begin{gathered} \sin(\angle DAS):\sin(\angle ADS)=\sin(\gamma-90^\circ):\sin(\alpha+(90^\circ-\beta))\\ =-\cos\gamma:\cos(\beta-\alpha). \end{gathered}$$

Zbog $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$ dobivamo $$|SD|:|SC|=\cos(\alpha+\beta):\cos(\alpha-\beta).$$