3. Zadatak

Označimo vrhove kvadrata kao na slici te središte sa $S$. Označimo s $K$ i $L$ presjeke stranica $A'D'$ i $A'B'$ sa stranicom $AB$, redom, te neka je $M$ presjek dužina $SA'$ i $AB$.

Uočimo da je površina $P$ traženog osmerokuta jednaka površini kvadrata $ABCD$ umanjenoj za površine četiri međusobno sukladna trokuta sukladnima trokutu $A'LK$.

Odnosno, vrijedi $P=P(ABCD)-4P(A'LK)$.

Dužina $SA'$ povezuje središte kvadrata s vrhom kvadrata $A'B'C'D'$, pa je njezina duljina jednaka polovini duljine dijagonale tog kvadrata:

$$|SA'|=\frac{\sqrt2}{2}(1+\sqrt2)=1+\frac{\sqrt2}{2}.$$

Dužina $SM$ povezuje središte kvadrata s polovištem stranice kvadrata $ABCD$, pa njezina duljina iznosi polovinu duljine stranice kvadrata:

$$|SM|=\frac12(1+\sqrt2)=\frac12+\frac{\sqrt2}{2}.$$

Trokut $A'LK$ je jednakokračan pravokutan trokut. Duljina visine na hipotenuzu iznosi

$$|A'M|=|SA'|-|SM|=\frac12.$$

Duljina hipotenuze iznosi $|KL|=2|A'M|=1$, pa površina trokuta $A'LK$ iznosi

$$P(A'KL)=\frac12\cdot|A'M|\cdot|KL|=\frac14.$$

Zato je tražena površina osmerokuta jednaka

$$P=P(ABCD)-4P(A'LK)=(1+\sqrt2)^2-4\cdot\frac14=2+2\sqrt2.$$

Napomena: Tražena površina može se izračunati kao osam površina trokuta $SKL$, računajući iste duljine dužina kao u navedenom rješenju.