5. Zadatak

Označimo s $A_k$ broj kamenčića nakon $k$-tog koraka, a s $B_k$ broj hrpi nakon $k$-tog koraka. Na početku imamo $A_0=1001$ i $B_0=1$.

Primijetimo da se nakon svakog koraka broj kamenčića smanji za jedan, odnosno $A_{k+1}=A_k-1$. Također, nakon svakog koraka broj hrpi se uveća za jedan, odnosno $B_{k+1}=B_k+1$.

Prema tome, zbroj broja kamenčića i broja hrpi $A_k+B_k$ ostaje nepromijenjen nakon svakog koraka.

Posebno, vrijedi $A_k+B_k=A_0+B_0=1002$ za sve vrijednosti $k$.

Pretpostavimo da nakon nekog poteza $l$ imamo $n$ hrpi s točno tri novčića u svakoj. Tada je $A_l=3n$ i $B_l=n$. Slijedi $A_l+B_l=4n=1002$, što nije moguće jer $1002$ nije djeljivo s $4$.

Dolazimo do kontradikcije, pa možemo zaključiti da nije moguće doći do traženog rasporeda kamenčića.