1. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je $6^{2022}=2^{2022}\cdot 3^{2022}$, odnosno

$$6^{2022}-2^{2022}=2^{2022}(3^{2022}-1).$$

Kako je $2^{2025}=2^{2022}\cdot 2^3$, preostaje pokazati da je broj $3^{2022}-1$ djeljiv s $2^3=8$.

Prema formuli za razliku kvadrata, vrijedi

$$3^{2022}-1=(3^{1011}-1)\cdot(3^{1011}+1).$$

Iz formula za zbroj i razliku (neparnih) potencija imamo

$$3^{1011}-1=(3-1)\cdot(3^{1010}+3^{1009}+\cdots+3^2+3+1),$$ $$3^{1011}+1=(3+1)\cdot(3^{1010}-3^{1009}+\cdots+3^2-3+1).$$

Uvrštavanjem slijedi

$$\begin{aligned} 3^{2022}-1 &=2\cdot(3^{1010}+\cdots+1)\cdot4\cdot(3^{1010}-\cdots-3+1)\\ &=8\cdot(3^{1010}+\cdots+1)\cdot(3^{1010}-\cdots-3+1), \end{aligned}$$

čime je dokazana tvrdnja.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, zaključujemo da treba pokazati da je $3^{2022}-1$ djeljivo s $8$.

Uočimo da je $3^{2022}=3^{2\cdot1011}=9^{1011}$.

Iz formule za razliku potencija imamo

$$\begin{aligned} 9^{1011}-1 &=(9-1)\cdot(9^{1010}+9^{1009}+\cdots+9^2+9+1)\\ &=8\cdot(9^{1010}+\cdots+1), \end{aligned}$$

čime je dokazana tvrdnja.

Napomena: U drugom rješenju, nakon uočavanja $3^{2022}=9^{1011}$, zadatak je moguće riješiti i uočavajući da broj $9^k$ uvijek daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $8$, za sve $k\in\mathbb{N}$.