7. Zadatak

Sređivanjem danog izraza imamo

$$\begin{aligned} m^2-4mn&=n-4,\\ m^2+4&=n(4m+1), \end{aligned}$$

odnosno $n=\frac{m^2+4}{4m+1}$.

Proširivanjem razlomka s faktorom $16$ i nadopunjavanjem brojnika do razlike kvadrata imamo

$$n=\frac{16m^2+64}{16(4m+1)} =\frac{16m^2-1+65}{16(4m+1)} =\frac{(4m+1)(4m-1)+65}{16(4m+1)},$$

odnosno

$$16n=4m-1+\frac{65}{4m+1}.$$

Kako $\frac{65}{4m+1}$ mora biti cijeli broj, broj $4m+1$ treba biti djelitelj broja $65$. Kako je $65=5\cdot13$, jedine mogućnosti za $4m+1$ su $1$, $5$, $13$ i $65$.

Iz $4m+1=1$ slijedi $m=0$ što nije moguće.

Iz $4m+1=5$ slijedi $m=1$ i $n=1$, a iz $4m+1=13$ slijedi $m=3$ i $n=\frac{3^2+4}{4\cdot3+1}=1$.

Iz $4m+1=65$ slijedi $m=16$ i $n=\frac{16^2+4}{4\cdot16+1}=4$.

Dakle, svi takvi parovi brojeva $(m,n)$ su $(1,1)$, $(3,1)$ i $(16,4)$.