4. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz prve jednakosti slijedi $a+b=-c$, odnosno $(a+b)^3=-c^3$.

Primjenom formule za zbroj kubova, imamo

$$\begin{aligned} (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3,\\ a^3+3ab(a+b)+b^3&=-c^3,\\ a^3+b^3+c^3&=-3ab(a+b). \end{aligned}$$

Iz $a+b=-c$ imamo $ab(a+b)=-abc=-4$.

Zato konačno imamo $a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b)=(-3)\cdot(-4)=12$.

Drugo rješenje.

Uvedimo oznaku

$$S=a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b.$$

Uočimo da vrijedi

$$0=(a+b+c)(ab+bc+ca)=S+3abc,$$

te

$$0=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=S+a^3+b^3+c^3.$$

Oduzimajući te dvije jednakosti, dobivamo

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$

Zato je $a^3+b^3+c^3=3\cdot4=12$.