6. Zadatak

Označimo polovište stranice $BC$ s $P$ te neka je $a$ duljina dužine $BC$.

Iz tvrdnje zadatka vrijedi $|AT|=|BC|=a$.

Budući da je $T$ težište trokuta, iz $|AT|:|PT|=2:1$ slijedi $|PT|=\frac a2$.

Kako je $P$ polovište stranice $BC$, vrijedi $|CP|=|BP|=\frac a2$. Kako je i $|PT|=\frac a2$, zaključujemo da je polovište stranice $BC$ središte opisane kružnice trokutu $TBC$, pa je zato taj trokut pravokutan.

Nadalje, kako je $\angle BCT=30^\circ$, a kut $\angle CTB$ pravi, dobivamo da je kut $\angle TBC=60^\circ$.

Zajedno s $|CP|=|TP|$, to znači da je trokut $BPT$ jednakostraničan, pa je $|BT|=\frac a2$.

Primjenom Pitagorinog poučka u trokutu $CTB$ imamo

$$|CT|=\sqrt{|BC|^2-|BT|^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Konačno, vrijedi

$$|AT|:|CT|=a:\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$