4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $ABCD$ zadani tetraedar i neka je $|CD|=3$. Promatramo tetraedar kao trostranu piramidu kojoj je baza jednakokračni trokut $BCD$.

Površinu trokuta $BCD$ možemo odrediti koristeći Heronovu formulu. Duljine stranica tog trokuta su $a=2$, $b=2$ i $c=3$, pa je poluopseg $s=\frac72$. Površina iznosi

$$P(BCD)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{\frac72\cdot\frac32\cdot\frac32\cdot\frac12} =\frac{3\sqrt7}{4}.$$

Neka je $S$ nožište visine iz vrha $A$ na bazu $BCD$. Trokuti $ASB$, $ASC$ i $ASD$ su pravokutni trokuti koji imaju zajedničku katetu i hipotenuze su im jednake duljine ($|AB|=|AC|=|AD|=2$), pa korištenjem Pitagorinog poučka zaključujemo da je

$$|BS|=|CS|=|DS|.$$

Dakle, $S$ je središte opisane kružnice trokuta $BCD$. Polumjer opisane kružnice trokuta $BCD$ možemo izračunati koristeći formulu

$$|BS|=R=\frac{abc}{4P}=\frac{2\cdot2\cdot3}{4\cdot\frac{3\sqrt7}{4}}=\frac4{\sqrt7}.$$

Duljinu visine piramide $AS$ računamo koristeći Pitagorin poučak:

$$|AS|^2=|AB|^2-|BS|^2=4-\frac{16}{7}=\frac{12}{7},$$

tj. $|AS|=\sqrt{\frac{12}{7}}$. Konačno, obujam traženog tetraedra iznosi

$$V=\frac13\cdot P(BCD)\cdot|AS| =\frac13\cdot\frac{3\sqrt7}{4}\cdot\sqrt{\frac{12}{7}} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $ABCD$ zadani tetraedar i neka je $|CD|=3$. Promatramo tetraedar kao trostranu piramidu kojoj je baza jednakostranični trokut $ABC$.

Površina trokuta $ABC$ iznosi

$$P(ABC)=\frac{2^2\sqrt3}{4}=\sqrt3.$$

Neka je $P$ polovište brida $AB$. Trokuti $ABD$ i $ABC$ su jednakostranični, pa vrijedi

$$|PC|=|PD|=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Neka je $N$ nožište visine iz vrha $D$ na bazu $ABC$. Kako je $|AD|=|BD|$, točka $N$ leži na pravcu $PC$.

Dakle, $DN$ je visina u jednakokračnom trokutu $CDP$ kojem su duljine stranica $\sqrt3$, $\sqrt3$ i $3$. Koristeći Heronovu formulu (ili računanjem duljine visine iz točke $P$ na stranicu $CD$ koristeći Pitagorin poučak) možemo izračunati površinu tog trokuta:

$$P(CDP)=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

Budući da je

$$P(CDP)=\frac{|DN|\cdot|PC|}{2},$$

slijedi da je $|DN|=\frac32$. Obujam traženog tetraedra je

$$V(ABCD)=\frac13\cdot P(ABC)\cdot|DN| =\frac13\cdot\sqrt3\cdot\frac32=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Treće rješenje.

Neka je $ABCD$ zadani tetraedar i neka je $|CD|=3$. Neka je $Q$ polovište brida $CD$. Uočimo da su $AQ$ i $BQ$ visine u trokutima $ACD$ i $BCD$, pa je pravac $CD$ okomit na ravninu $ABQ$.

Zato je traženi volumen

$$V(ABCD)=2\cdot V(ABCQ)=\frac23\cdot P(ABQ)\cdot|QC|.$$

Trokut $ACQ$ je pravokutan i znamo da je $|CQ|=\frac32$ i $|AC|=2$. Prema Pitagorinom poučku slijedi

$$|AQ|^2=|AC|^2-|CQ|^2=2^2-\left(\frac32\right)^2=\frac74,$$

tj. $|AQ|=\frac{\sqrt7}{2}$. Trokut $ABQ$ je jednakokračan. Neka je $P$ polovište brida $AB$. Koristeći Pitagorin poučak za pravokutni trokut $APQ$ dobivamo

$$|PQ|^2=|AQ|^2-|AP|^2=\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2-1^2=\frac34,$$

tj. $|PQ|=\frac{\sqrt3}{2}$. Slijedi da je

$$P(ABQ)=\frac12\cdot|PQ|\cdot|AB|=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\frac{\sqrt3}{2},$$

te konačno

$$V(ABCD)=\frac23\cdot P(ABQ)\cdot|QC| =\frac23\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac32=\frac{\sqrt3}{2}.$$