1. Zadatak

Neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutova u trokutu $ABC$ kod vrhova $A$, $B$ i $C$, redom.

Prvo rješenje.

Neka je $n=|AD|$, $m=|BD|$ i $|AB|=c$. Prema poučku o simetrali kuta vrijedi $m:n=a:b$. Budući da je $m+n=c$, vrijedi

$$m=\frac{ac}{a+b}.$$

Prema poučku o kosinusu primijenjenom na trokut $BCD$ vrijedi

$$\frac{a^2b^2}{(a+b)^2}=a^2+\frac{a^2c^2}{(a+b)^2}-\frac{2a^2c}{a+b}\cos\beta,$$

tj.

$$\cos\beta=\frac{(a+b)^2+c^2-b^2}{2c(a+b)}=\frac{a^2+2ab+c^2}{2c(a+b)}.$$

Budući da prema poučku o kosinusu primijenjenom na trokut $ABC$ vrijedi

$$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},$$

slijedi

$$\frac{a^2+2ab+c^2}{2c(a+b)}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$$

Sređivanjem dobivamo

$$a^2+b^2+ab=c^2.$$

Prema poučku o kosinusu primijenjenom na trokut $ABC$ slijedi

$$\cos\gamma=-\frac12,$$

tj. $\gamma=120^\circ$.

Napomena. U ovom rješenju koristili smo poučak o kosinusu na trokute $ABC$ i $BCD$, na isti način kako se može dokazati Stewartov poučak. Zato zadatak možemo riješiti i na sljedeći način.

Nakon što pokažemo da je

$$m=\frac{ac}{a+b}\quad\text{i}\quad n=\frac{bc}{a+b},$$

uz $d=\frac{ab}{a+b}$, direktno iz Stewartove formule

$$b^2m+a^2n=c(d^2+mn)$$

dobivamo $a^2+b^2+ab=c^2$ i $\gamma=120^\circ$.

Drugo rješenje.

Vrijedi $\angle BDC=\alpha+\frac{\gamma}{2}$. Prema poučku o sinusima primijenjenom na trokut $BCD$ vrijedi

$$\frac{ab}{a+b}:a=\sin\beta:\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right),$$

tj.

$$\frac{b}{a+b}=\frac{\sin\beta}{\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)}.$$

Stoga je

$$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}+1,$$

pa dobivamo

$$\sin\alpha+\sin\beta=\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right).$$

Budući da je $\sin\beta=\sin(180^\circ-\beta)=\sin(\alpha+\gamma)$, slijedi

$$\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=\sin\alpha+\sin(\alpha+\gamma)=2\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)\cos\frac{\gamma}{2}.$$

Nije moguće da je $\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=0$ jer bi tada bilo $\alpha+\frac{\gamma}{2}=180^\circ$. Zato je $\cos\frac{\gamma}{2}=\frac12$, pa je $\gamma=120^\circ$.

Treće rješenje.

Neka je $n=|AD|$, $m=|BD|$ i $|AB|=c$. Koristeći poučak o simetrali kuta (ili poučak o sinusima za trokute $BCD$ i $ADC$) zaključujemo $a:b=m:n$. Budući da je $m+n=c$, vrijedi

$$m=\frac{ac}{a+b}.$$

Prema poučku o sinusima za trokut $BCD$ slijedi

$$\sin\frac{\gamma}{2}:\sin\beta=\frac{ac}{a+b}:\frac{ab}{a+b}=\frac{c}{b}.$$

Prema poučku o sinusima za trokut $ABC$ vrijedi

$$\frac{c}{b}=\frac{\sin\gamma}{\sin\beta},$$

iz čega zaključujemo

$$\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\beta},$$

tj.

$$\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\gamma=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

Nemoguće je da je $\sin\frac{\gamma}{2}=0$ jer bi tada bilo $\gamma=0$, pa je $\cos\frac{\gamma}{2}=\frac12$. Dakle, $\gamma=120^\circ$.

Četvrto rješenje.

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti $|BC|<|AC|$. Neka je točka $E$ na simetrali kuta $\angle ACB$ takva da je $BE\parallel AC$.

Uočimo da je $\angle BED=\angle ACD=\angle BCD$, pa je $|BE|=|BC|=a$.

Također, trokuti $ADC$ i $BDE$ imaju iste kutove, pa su slični. Iz te sličnosti slijedi

$$|BE|:|DE|=|AC|:|CD|,$$

tj.

$$|DE|=\frac{a}{b}\cdot|CD|=\frac{a^2}{a+b}.$$

Sada zaključujemo

$$|CE|=|CD|+|DE|=\frac{ab}{a+b}+\frac{a^2}{a+b}=a.$$

Dakle, trokut $BCE$ je jednakostraničan. Zato je $\frac12\angle ACB=60^\circ$, tj. $\angle ACB=120^\circ$.