5. Zadatak
Koliko najviše cijelih brojeva može sadržavati konačni skup takav da među svaka tri elementa skupa postoje dva različita broja čiji zbroj je također u ?
Rješenje
Neka je konačan skup cijelih brojeva takav da među svaka tri elementa skupa postoje dva različita broja čiji zbroj je također u . Pokazat ćemo da ne može imati više od elemenata.
Pretpostavimo da ima barem tri pozitivna elementa. Neka su najveća tri elementa skupa . Budući da je i , mora vrijediti . Budući da je i , mora vrijediti .
Neka je najveći element skupa koji je manji od . Promotrimo elemente , , . Ako je , onda je i , pa mora vrijediti . Budući da je , mora vrijediti , tj. , što nije moguće. Dakle, ne može biti pozitivan, tj. sadrži točno tri pozitivna broja.
Analogno pokazujemo implikaciju: ako sadrži barem tri negativna broja, onda sadrži točno tri negativna broja. Drugim riječima, skup može sadržavati najviše tri broja istog predznaka. Dakle, može sadržavati najviše elemenata (tri pozitivna, tri negativna i broj ).
Primjer skupa sa elemenata koji ima traženo svojstvo je