1. Zadatak

Označimo s $a$ početni član i s $d$ razliku aritmetičkog niza $(a_n)_{n\in\mathbb N}$. Tada je $a_n=a+(n-1)d$ za svaki $n\in\mathbb N$ i uvjet

$$a_{r+1}+a_{r+2}=a_1+a_2+\cdots+a_{3r+2},$$

možemo zapisati kao

$$2a+(2r+1)d=(3r+2)a+d\cdot(1+2+\ldots+3r+1),$$

odnosno

$$2a+(2r+1)d=(3r+2)a+\frac{(3r+2)(3r+1)}2\cdot d.$$

Slijedi da je

$$a=\left(\frac{4r+2-(3r+2)(3r+1)}{6r}\right)\cdot d =\frac{-9r-5}{6}\cdot d.$$

Pretpostavimo da je $a_n=0$ za neki prirodan broj $n$. Tada je $a+(n-1)d=0$, odnosno

$$d\cdot\left(\frac{-9r-5}{6}+n-1\right)=0,$$

iz čega slijedi da je $\frac{-9r-5}{6}$ cijeli broj. Međutim, to je kontradikcija jer $6$ ne dijeli $-9r-5$ ni za koji prirodan broj $r$. Dakle, niti jedan član niza nije jednak $0$.