2. Zadatak

Neka su točke $C'$ i $D'$ redom presjeci pravca $CD$ s opisanom kružnicom trokuta $ABC$ te kružnicom sa središtem $C$ polumjera $|CD|$, kao na skici.

Budući da je trokut $ABC$ pravokutan, dužina $\overline{AB}$ je promjer kružnice opisane tom trokutu. Slijedi da su točke $C'$ i $C$ međusobno simetrične s obzirom na pravac $AB$ pa je $|CD|=|C'D|$.

S druge strane, kako je $C$ središte kružnice, vrijedi $|CD'|=|CD|$.

Iz potencije točke $P$ s obzirom na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ slijedi

$$|PF|\cdot|PE|=|PC|\cdot|PC'| =|PC|\cdot(|PD|+|DC'|) =|PC|\cdot(|PD|+|DC|).$$

S druge strane, iz potencije iste točke s obzirom na kružnicu sa središtem $C$ radijusa $|CD|$ dobivamo

$$|PF|\cdot|PE|=|PD|\cdot|PD'| =|PD|\cdot(|PC|+|CD'|) =|PD|\cdot(|PC|+|CD|).$$

U oba niza jednakosti, početni izrazi su jednaki, pa i završni izrazi moraju biti jednaki, to jest,

$$|PC|\cdot(|PD|+|DC|)=|PD|\cdot(|PC|+|CD|),$$

odakle slijedi $|PC|=|PD|$, to jest, $P$ je polovište dužine $\overline{CD}$.

Napomena: Umjesto potencije točke, mogu se promatrati sličnosti trokuta $PCF$ i $PC'E$, odnosno $PDE$ i $PD'F$.