1. Zadatak

Za svaki prirodan $n$ koeficijent $a_1$ različit je od nule, pa kako bi $a_1,a_3$ i $a_4$ činili članove geometrijskog niza, i ostali članovi moraju biti različiti od nule, pa je nužno $n\geq4$.

Primjenom binomnog poučka dobivamo

$$a_1=c\binom n1,\qquad a_3=c^3\binom n3,\qquad a_4=c^4\binom n4,$$ $$b_1=2c\binom n1,\qquad b_2=4c^2\binom n2,\qquad b_3=8c^3\binom n3.$$

Iz prvog uvjeta dobivamo $a_1a_4=a_3^2$, odnosno

$$c\binom n1\cdot c^4\binom n4=c^6\binom n3^2,$$

odakle je

$$c=n\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}\cdot\left(\frac{3!}{n(n-1)(n-2)}\right)^2=\frac{3(n-3)}{2(n-1)(n-2)}.$$

Iz drugog uvjeta dobivamo $b_1+2b_3=4b_2$, odnosno

$$2c\binom n1+2\cdot8c^3\binom n3=4\cdot4c^2\binom n2,$$ $$2cn+16c^3\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=16c^2\frac{n(n-1)}2,$$ $$1+4c^2\frac{(n-1)(n-2)}3=4c(n-1).$$

Korištenjem jednakosti za $c$ izraženog preko $n$ iz prvog uvjeta na lijevoj strani posljednje jednakosti, dobivamo

$$1+4c\cdot\frac{3(n-3)}{2(n-1)(n-2)}\cdot\frac{(n-1)(n-2)}3=4c(n-1),$$ $$1+2c(n-3)=4c(n-1),$$ $$c=\frac1{2n+2}.$$

Uspoređivanjem dobivenog za $c$ izražen preko $n$, dobivamo

$$\frac1{2n+2}=c=\frac{3(n-3)}{2(n-1)(n-2)},$$ $$2n^2-3n-11=0,$$

no posljednja jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima. Zato ne postoje takvi parovi brojeva $(c,n)$.

Napomena: Ako bismo u zadatku tražili da brojevi $b_1,b_2$ i $2b_3$ (umjesto $b_1,2b_2$ i $2b_3$) čine aritmetički niz, tada bi traženi parovi $(c,n)$ bili $\left(\frac14,4\right)$ i $\left(\frac14,5\right)$.