2. Zadatak

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od $1000$ čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2+\omega+1=0$ .

Izračunaj zbroj $\displaystyle\sum_{k\in S}\omega^k$ , tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$ .

Prvo rješenje.

Označimo sa $Z$ traženi zbroj. Množeći jednakost $\omega^2+\omega+1=0$ s $\omega-1$ dobivamo $\omega^3=1$ . Posebno, broj $\omega^n$ jednak je broju $1,\omega$ ili $\omega^2$ redom ako $n$ daje ostatak $0,1$ ili $2$ pri dijeljenju s $3$ .

Promotrimo bilo koja tri troznamenkasta broja oblika $\overline{4ab},\overline{6ab},\overline{8ab}$ , za neke parne znamenke $a$ i $b$ . Ta tri broja daju tri različita ostatka pri dijeljenju s $3$ , pa vrijedi

\omega^{\overline{4ab}}+\omega^{\overline{6ab}}+\omega^{\overline{8ab}}=1+\omega+\omega^2=0.

Koristeći ovaj identitet za sve takve troznamenkaste brojeve zaključujemo da se u traženom zbroju krate svi članovi s eksponentima $k$ kojima je znamenka stotica jednaka $4,6$ ili $8$ .

Sličnim argumentom u zbroju se krate i svi članovi s $k$ kojima je znamenka desetica jednaka $4,6$ ili $8$ , pa onda i kojima je znamenka jedinica jednaka $4,6$ ili $8$ .

Preostalo je izračunati zbroj brojeva $\omega^k$ gdje su $k$ prirodni brojevi manji od $1000$ kojima su sve znamenke jednake $0$ ili $2$ . Imamo

\begin{aligned} Z&=\omega^2+\omega^{20}+\omega^{22}+\omega^{200}+\omega^{202}+\omega^{220}+\omega^{222}\\ &=1+3\omega+3\omega^2=1+3\cdot(-1)=-2. \end{aligned}

Drugo rješenje.

Neka je ponovno $Z$ tražena suma, te ponovno zaključujemo da je $\omega^3=1$ , odnosno vrijednost broja $\omega^n$ određena je ostatkom broja $n$ pri dijeljenju s $3$ .

Traženi zbroj $Z$ uvećan za $\omega^0=1$ možemo zapisati na sljedeći način:

Z+1=(\omega^0+\omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8)(\omega^0+\omega^{20}+\omega^{40}+\omega^{60}+\omega^{80})(\omega^0+\omega^{200}+\omega^{400}+\omega^{600}+\omega^{800}).

Zaista, svakim umnoškom triju pribrojnika iz različitih zagrada s desne strane jednakosti dobivamo član s eksponentom koji je nenegativan cijeli broj manji od $1000$ s parnim znamenkama, te na taj način dobivamo sve eksponente iz $S$ i nulu.

Koristeći tu jednakost, dobivamo

\begin{aligned} Z+1 &=\frac{\omega^{10}-1}{\omega^2-1}\frac{\omega^{100}-1}{\omega^{20}-1}\frac{\omega^{1000}-1}{\omega^{200}-1}\\ &=\frac{\omega-1}{\omega^2-1}\frac{\omega-1}{\omega^2-1}\frac{\omega-1}{\omega^2-1}\\ &=\frac1{(\omega+1)^3}=\frac1{(-\omega^2)^3}=\frac1{-\omega^6}=\frac1{-1}=-1, \end{aligned}

pa je traženi zbroj $Z=-2$ .