5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $a$ broj učenika koji nisu riješili lagani zadatak, a $b$ broj učenika koji nisu riješili teški zadatak.

Svaki učenik koji nije riješio lagani zadatak riješio je 4 teška i 7 laganih, odnosno riješio je 28 različitih parova laganih i teških zadataka.

Svaki učenik koji nije riješio teški zadatak riješio je 3 teška i 8 laganih, odnosno riješio je 24 različita para laganih i teških zadataka.

Iz uvjeta zadatka slijedi

$$28a+24b=256,\qquad\text{odnosno}\qquad 7a+6b=64.$$

Broj $a$ mora biti paran, a $7\cdot9+6>64$, pa broj $a$ može biti samo jedan od brojeva $2,4,6,8$.

Za $a=2$ slijedi $6b=50$, za $a=4$ slijedi $6b=36$, za $a=6$ slijedi $6b=22$, a za $a=8$ slijedi $6b=8$. Dakle, jedino moguće rješenje je $a=4$, $b=6$, odnosno $n=10$.

Drugo rješenje.

Označimo teške zadatke $T_1,\ldots,T_4$, a lagane zadatke $L_1,\ldots,L_8$. Neka je $x_i$ broj učenika koji nisu ispravno riješili $T_i$, a $y_i$ broj učenika koji nisu ispravno riješili $L_i$.

Tvrdnja da je svaki učenik ispravno riješio točno 11 zadataka znači da je

$$n=x_1+\cdots+x_4+y_1+\cdots+y_8. \tag{*}$$

Broj učenika koji su ispravno riješili $T_i$ i $L_j$ jest $n-x_i-y_j$. Svaki $T_i$ pojavljuje se u 8 parova, a svaki $L_j$ u 4 para, pa vrijedi

$$256=32n-8(x_1+\cdots+x_4)-4(y_1+\cdots+y_8),$$

odnosno

$$64=8n-2(x_1+\cdots+x_4)-(y_1+\cdots+y_8).$$

Zbog $(*)$ imamo

$$64=8n-n-(x_1+x_2+x_3+x_4)=7n-(x_1+x_2+x_3+x_4).$$

Budući da je $0\le x_1+x_2+x_3+x_4\le n$, slijedi

$$6n\le64\le7n,$$

odakle zaključujemo da je $n=10$.