1. Zadatak

Neka su $A$ i $B$ sjecišta parabole s $x$-osi, a $C$ sjecište s $y$-osi.

Tada je $A=(x_1,0)$, $B=(x_2,0)$, pri čemu su $x_1$ i $x_2$ nultočke funkcije $f(x)=x^2+ax+b$, i vrijedi $|AB|=|x_1-x_2|$.

Prema Vièteovim formulama slijedi

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4b,$$

odnosno $|AB|=\sqrt{a^2-4b}$.

Točka $C$ ima koordinate $(0,b)$, pa duljina visine trokuta $ABC$ iznosi $|b|$. Površina trokuta $ABC$ je

$$3=\frac{\sqrt{a^2-4b}\,|b|}{2},$$

iz čega slijedi

$$(a^2-4b)b^2=36.$$

Budući da $b^2$ dijeli broj $36$, slijedi da je $b^2\in\{1,4,9,36\}$.

Razlikujemo četiri slučaja:

1. Ako je $b^2=1$, onda je $a^2-4b=36$. Iz $b=-1$ slijedi $a^2=32$, a iz $b=1$ slijedi $a^2=40$, pa u ovom slučaju nema rješenja.
2. Ako je $b^2=4$, onda je $a^2-4b=9$. Iz $b=-2$ slijedi $a^2=1$, a iz $b=2$ slijedi $a^2=17$, pa su u ovom slučaju rješenja $(-1,-2)$ i $(1,-2)$.
3. Ako je $b^2=9$, onda je $a^2-4b=4$. Iz $b=-3$ slijedi $a^2=-8$, a iz $b=3$ slijedi $a^2=16$, pa su u ovom slučaju rješenja $(-4,3)$ i $(4,3)$.
4. Ako je $b^2=36$, onda je $a^2-4b=1$. Iz $b=-6$ slijedi $a^2=-23$, a iz $b=6$ slijedi $a^2=25$, pa su u ovom slučaju rješenja $(-5,6)$ i $(5,6)$.

Traženi su parovi

$$(-1,-2),\ (1,-2),\ (-4,3),\ (4,3),\ (-5,6),\ (5,6).$$