3. Zadatak

Brojevi $a$ i $b$ moraju imati iste proste faktore. Neka je $p$ neki njihov prosti faktor koji se u $a$ pojavljuje s eksponentom $k$, a u $b$ s eksponentom $l$. Tada je $p^{3k}=p^{2l}$, odnosno $3k=2l$, iz čega slijedi da je $k$ paran broj.

Budući da to vrijedi za sve proste faktore $p$, zaključujemo da je $a$ potpun kvadrat, tj. $a=n^2$ za neki $n\in\mathbb N$. Analogno zaključujemo da je $c=m^4$ za neki $m\in\mathbb N$.

Slijedi

$$9=a-c=n^2-m^4=(n-m^2)(n+m^2).$$

Kako je $n+m^2>0$, slijedi $n-m^2>0$. Kako je $m$ prirodan broj, vrijedi $n-m^2<n+m^2$. Zbog $n+m^2>0$, jedina je mogućnost

$$n+m^2=9,\qquad n-m^2=1,$$

odakle slijedi $m=2$ i $n=5$.

Slijedi

$$a=5^2=25,\qquad b=5^3=125,\qquad c=2^4=16,\qquad d=2^5=32.$$

Jedina tražena četvorka jest $(25,125,16,32)$.