1. Zadatak

Jedina rješenja ove jednadžbe su $(a,b,n)=(1,1,3),(2,0,3)$.

Ako je $n\leq2$, desna strana jednadžbe manja je od lijeve, pa nema rješenja. Ako je $n=3$, nužno je $b=0$ ili $b=1$. U oba slučaja nalazimo rješenje: $(2,0,3),(1,1,3)$.

Nadalje pretpostavljamo da je $n\geq4$.

Budući da je desna strana jednakosti parna, mora biti i lijeva, a to je samo u slučaju $a\geq1$.

Promotrimo ostatke koje izrazi u jednadžbi daju pri dijeljenju s $8$. Za $n\geq4$, $n!$ djeljiv je s $8$, dok izraz $3^b$ daje ostatke $3$ ili $1$. Kada bi bilo $a\geq3$, tada bi lijeva strana jednadžbe davala ostatak $2$ ili $4$, čime dolazimo do kontradikcije. Dakle, nužno je $a\leq2$.

Zato imamo dva slučaja: $a=1$ ili $a=2$.

U slučaju $a=1$ jednadžba postaje $3^b+3=n!$. Direktnom provjerom vidimo da jednadžba nema rješenja za $n=4$ i $n=5$. Za $n\geq6$ promotrimo ostatke koje izrazi u jednadžbi daju pri dijeljenju s $9$. Za $b=0$ i $b=1$ ne dobivamo rješenja, dok za $b\geq2$ lijeva strana jednakosti daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $9$. Kako je desna strana jednakosti djeljiva je s $9$, dolazimo do kontradikcije, te u ovom slučaju ne dobivamo rješenja.

U slučaju $a=2$ jednadžba postaje $3^b+5=n!$. Za $b=0$ ne dobivamo rješenje, a za $b\geq1$ svi izrazi osim $5$ djeljivi su s $3$, pa ni u ovom slučaju ne dobivamo rješenja.

Ovime smo razmotrili sve slučajeve pa zaključujemo da su $(a,b,n)=(1,1,3),(2,0,3)$ zaista jedina rješenja ove jednadžbe.