3. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrštavanjem $a$ i $b$ u polinom $P(x)$ i korištenjem uvjeta, slijedi

$$a^3+a\cdot a^2+b\cdot a+c=a^3$$

i

$$b^3+a\cdot b^2+b\cdot b+c=b^3.$$

Oduzimanjem i sređivanjem dobivamo

$$a^3+ab=ab^2+b^2,$$ $$(a^2+ab+b)(a-b)=0.$$

Budući da su $a$ i $b$ različiti, slijedi da je $a^2+ab+b=0$, odnosno $a^2=-b(a+1)$.

Primijetimo da $a+1\neq0$, jer bi u suprotnom jedna strana posljednje jednakosti bila jednaka nuli, a druga ne bi. Zato zaključujemo da je

$$b=-\frac{a^2}{a+1}=1-a-\frac1{a+1}.$$

Kako su $a$ i $b$ cijeli brojevi, broj $a+1$ djelitelj je broja $1$, odnosno $a=0$ ili $a=-2$.

Ako je $a=0$, dobivamo da je $b=0$, no to se suprotstavlja uvjetu zadatka $a\neq b$. Zato mora vrijediti $a=-2$.

U ovom slučaju dobivamo $b=4$, te iz bilo koje od prvih dviju jednadžbi dobivamo $c=16$.

Direktnom provjerom vidimo da ova trojka $(a,b,c)$ zaista zadovoljava uvjete zadatka pa imamo

$$P(x)=x^3-2x^2+4x+16,$$

odnosno

$$P(1)=19.$$

Drugo rješenje.

Iz prvih dviju jednadžbi gornjeg rješenja vidimo da su $a$ i $b$ različita rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2+bx+c=0$.

Nužno je $a\neq0$ (jer onda jednadžba ne bi imala dva rješenja), pa prema Vieteovoj formuli za zbroj rješenja dobivamo

$$-\frac ba=a+b,$$ $$a^2+ab+b=0.$$

Sada nastavljamo kao u gornjem rješenju.