2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvedimo oznaku $z_n=(\sqrt3+i)^n$. Zapišimo taj broj u trigonometrijskom obliku: kako je

$$z_1=\sqrt3+i=2\left(\frac{\sqrt3}{2}+i\frac12\right)=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right),$$

zaključujemo za sve $n\in\mathbb N$ imamo

$$z_n=z_1^n=2^n\left(\cos\frac{n\pi}{6}+i\sin\frac{n\pi}{6}\right).$$

Zato vrijedi

$$a_n=2^n\cos\frac{n\pi}{6}\quad\text{i}\quad b_n=2^n\sin\frac{n\pi}{6},$$

pa iz adicijskih formula imamo

$$\begin{aligned} a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n &=4^n\left(\cos\frac{n\pi}{6}\sin\frac{(n+1)\pi}{6}-\cos\frac{(n+1)\pi}{6}\sin\frac{n\pi}{6}\right)\\ &=4^n\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{6}-\frac{n\pi}{6}\right)\\ &=4^n\sin\frac\pi6, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n &=4^n\left(\cos\frac{(n+1)\pi}{6}\cos\frac{n\pi}{6}+\sin\frac{(n+1)\pi}{6}\sin\frac{n\pi}{6}\right)\\ &=4^n\cos\left(\frac{(n+1)\pi}{6}-\frac{n\pi}{6}\right)\\ &=4^n\cos\frac\pi6. \end{aligned}$$

Konačno, imamo da je

$$\frac{a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n}{a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n} =\frac{\sin\frac\pi6}{\cos\frac\pi6} =\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Zaključujemo da izraz poprima istu vrijednost za sve $n\in\mathbb N$, i ta vrijednost iznosi $\frac{\sqrt3}{3}$.

Drugo rješenje.

Primijetimo da je

$$\begin{aligned} &(a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n)+i(b_{n+1}a_n-a_{n+1}b_n)\\ &=(a_{n+1}+ib_{n+1})(a_n-ib_n)\\ &=(a_{n+1}+ib_{n+1})\overline{(a_n+ib_n)}\\ &=(\sqrt3+i)^{n+1}\overline{(\sqrt3+i)^n}\\ &=(\sqrt3+i)^{n+1}(\sqrt3-i)^n\\ &=(\sqrt3+i)((\sqrt3+i)(\sqrt3-i))^n\\ &=4^n\sqrt3+i4^n. \end{aligned}$$

Usporedbom realnih i imaginarnih dijelova zaključujemo $a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n=4^n$ te $a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n=4^n\sqrt3$, te je konačno

$$\frac{a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n}{a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n} =\frac{4^n}{4^n\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Treće rješenje.

Primijetimo da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi

$$\begin{aligned} a_{n+1}+ib_{n+1} &=(\sqrt3+i)^{n+1}\\ &=(a_n+ib_n)(\sqrt3+i)\\ &=(a_n\sqrt3-b_n)+i(a_n+b_n\sqrt3), \end{aligned}$$

odnosno $a_{n+1}=a_n\sqrt3-b_n$ i $b_{n+1}=a_n+b_n\sqrt3$.

Zato traženi izraz možemo pisati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} \frac{a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n}{a_{n+1}a_n+b_{n+1}b_n} &=\frac{a_n(a_n+b_n\sqrt3)-(a_n\sqrt3-b_n)b_n}{(a_n\sqrt3-b_n)a_n+(a_n+b_n\sqrt3)b_n}\\ &=\frac{a_n^2+a_nb_n\sqrt3-a_nb_n\sqrt3+b_n^2}{a_n^2\sqrt3-a_nb_n+a_nb_n+b_n^2\sqrt3}\\ &=\frac{a_n^2+b_n^2}{\sqrt3(a_n^2+b_n^2)}\\ &=\frac{\sqrt3}{3}, \end{aligned}$$

gdje vrijedi $a_n^2+b_n^2\neq0$ jer bi u suprotnom imali

$$0=a_n^2+b_n^2=|(\sqrt3+i)^n|=|\sqrt3+i|^n,$$

što nije istina.