6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je točka $S$ presjek pravaca $AD$ i $BC$.

Iz uvjeta zadatka imamo da je $|\angle CDS|=|\angle SCD|$ iz čega slijedi da je trokut $DCS$ jednakokračan, tj. $|SC|=|SD|$.

Označimo s $x=|SC|=|SD|$. Tada je

$$\begin{aligned} |SA|&=|SD|-|AD|=x-5,\\ |SB|&=|SC|-|BC|=x-7. \end{aligned}$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $ABS$ redom imamo

$$\begin{aligned} 4^2+(x-7)^2&=(x-5)^2\\ x^2-14x+65&=x^2-10x+25\\ 4x&=40,\\ x&=10. \end{aligned}$$

Neka je $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $BC$.

Uočimo da su trokuti $DNS$ i $ABS$ slični prema K–K poučku o sličnosti trokuta jer su pravokutni i imaju zajednički kut u vrhu $S$.

Iz gornje sličnosti redom računamo

$$\frac{|SN|}{|SB|}=\frac{|SD|}{|SA|}=2,$$

iz čega slijedi da je $|SN|=2|SB|=6$.

Analogno je $|DN|=2|AB|=8$.

Konačno, primjenom Pitagorinog poučka na trokut $DCN$ možemo izračunati duljinu dužine $\overline{CD}$.

$$|CD|=\sqrt{|CN|^2+|DN|^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}.$$

Drugo rješenje.

Neka su točke $E$ i $F$ redom nožišta okomica iz $A$ i $B$ na pravac $DC$ te neka je točka $G$ nožište okomice iz $A$ na pravac $BF$.

Označimo s $\varphi=|\angle CDA|=|\angle BCD|$.

Promotrimo pravokutni trokut $FCB$. Imamo da je

$$|\angle FBC|=90^\circ-|\angle BCF|=90^\circ-\varphi.$$

Nadalje, kako je $|\angle ABC|=90^\circ$ slijedi da je

$$|\angle ABG|=90^\circ-|\angle FBC|=\varphi.$$

U pravokutnim trokutima $AGB$, $DEA$ i $FCB$ redom vrijedi

$$\begin{aligned} |BG|&=4\cos\varphi,\\ |GF|=|AE|&=5\sin\varphi,\\ |BF|&=7\sin\varphi. \end{aligned}$$

Duljinu dužine $\overline{BF}$ možemo zapisati kao

$$|BF|=|BG|+|GF|.$$

Uvrštavanjem gornjih izraza za duljine $|BG|$, $|GF|$ i $|BF|$ slijedi

$$7\sin\varphi=4\cos\varphi+5\sin\varphi,$$

odnosno nakon sređivanja dobijemo da je

$$\sin\varphi=2\cos\varphi.$$

Kvadriranjem prethodne jednadžbe i korištenjem $\sin^2\varphi=1-\cos^2\varphi$ dobivamo

$$\begin{aligned} 1-\cos^2\varphi&=4\cos^2\varphi\\ \cos^2\varphi&=\frac{1}{5}. \end{aligned}$$

Kako je $\varphi<90^\circ$ slijedi da je $\cos\varphi=\frac{\sqrt{5}}{5}$ i $\sin\varphi=2\cos\varphi=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

U pravokutnim trokutima $AGB$, $DEA$ i $FCB$ redom slijedi

$$\begin{aligned} |EF|=|AG|&=4\sin\varphi=\frac{8\sqrt{5}}{5},\\ |DE|&=5\cos\varphi=\frac{5\sqrt{5}}{5},\\ |FC|&=7\cos\varphi=\frac{7\sqrt{5}}{5}. \end{aligned}$$

Konačno možemo izračunati duljinu dužine $\overline{CD}$.

$$|CD|=|DE|+|AG|+|FC|=\frac{5\sqrt{5}}{5}+\frac{8\sqrt{5}}{5}+\frac{7\sqrt{5}}{5}=4\sqrt{5}.$$