1. Zadatak

Da bi izraz bio dobro definiran, mora vrijediti $x-2\geq0$, $x+6\geq0$ i $\sqrt{x-2}\neq2$. Zaključujemo da sva rješenja $x$ zadovoljavaju $x\geq2$ i $x\neq6$.

Oduzimanjem $\sqrt{x+6}$ s obje strane nejednakosti i svođenjem na zajednički nazivnik dobivamo

$$\frac{3-2\sqrt{x+6}-\sqrt{x-2}\sqrt{x+6}+2\sqrt{x+6}}{\sqrt{x-2}-2}\geq0,$$

odnosno

$$\frac{3-\sqrt{(x-2)(x+6)}}{\sqrt{x-2}-2}\geq0.$$

Promotrimo prvo slučaj kada je $\sqrt{x-2}-2<0$, odnosno $x<6$.

Tada je nužno $3-\sqrt{(x-2)(x+6)}\leq0$, odnosno $3\leq\sqrt{(x-2)(x+6)}$, što daje kvadratnu nejednadžbu $0\leq x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$, čije je rješenje $x\leq-7$ ili $x\geq3$. Budući da je $2\leq x<6$, zaključujemo da je $3\leq x<6$.

U slučaju kada je $\sqrt{x-2}-2>0$, odnosno $x>6$, nužno je $3-\sqrt{(x-2)(x+6)}\geq0$.

Analogno prethodnom slučaju, rješavanjem ove nejednadžbe dobivamo $-7\leq x\leq3$, što nije kompatibilno s uvjetom $x>6$, odnosno zaključujemo da u ovom slučaju nema rješenja.

Konačno, skup rješenja je $[3,6\rangle$.