3. Zadatak

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta trokuta i $c$ duljina hipotenuze zadanog trokuta. Površinu trokuta možemo izraziti na dva načina

$$\frac{ab}{2}=P=\frac{12c}{2},$$

iz čega slijedi

$$ab=12c.$$

Iz uvjeta zadatka za opseg trokuta slijedi

$$a+b=60-c.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$a^2+b^2+2ab=(60-c)^2.$$

Korištenjem Pitagorinog poučka $a^2+b^2=c^2$ i uvjeta $ab=12c$ dobivamo

$$c^2+24c=(60-c)^2.$$

Rješavanjem ove jednadžbe dobijemo $c=25$.

Sada je $a+b=60-c=35$ i $ab=12c=300$. Iz toga dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$b(35-b)=300.$$

Rješenja te jednadžbe su $b=15$ i $b=20$. Ako je $b=15$, onda je $a=20$. Ako je $b=20$, onda je $a=15$. U oba slučaja, duljine stranica trokuta su $15$, $20$, $25$.