7. Zadatak

Prvo rješenje.

Dokazat ćemo da su $x$ i $y$ nužno cijeli brojevi. Bez smanjenja općenitosti neka je $x\geq y$.

Primijetimo da je $2xy=(x+y)^2-x^2-y^2$ cijeli broj kao razlika dva cijela broja.

Iz toga slijedi da je $(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ također cijeli broj, pa je $x-y=\sqrt{d}$ za neki nenegativan cijeli broj $d$.

Međutim, $x-y$ je racionalan broj, pa je $\sqrt{d}$ racionalan. Slijedi da je $d$ cijeli broj koji je kvadrat racionalnog broja, pa je $d$ kvadrat cijelog broja. Zaključujemo da je $x-y$ cijeli broj.

Posljedično,

$$2x=(x+y)+(x-y)\quad\text{i}\quad 2y=(x+y)-(x-y)$$

su cijeli brojevi.

Stoga, postoje cijeli brojevi $a$ i $b$ takvi da je $x=\frac{a}{2}$ i $y=\frac{b}{2}$. Kako je $x+y=\frac{a+b}{2}$ cijeli broj, slijedi da su $a$ i $b$ iste parnosti.

Ako su $a$ i $b$ neparni, onda $2xy=2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}$ nije cijeli broj, što nas dovodi do kontradikcije.

Dakle, $a$ i $b$ su parni, pa su $x$ i $y$ cijeli brojevi.

Drugo rješenje.

Neka su $m$ i $n$ cijeli brojevi takvi da je $x+y=m$ i $x^2+y^2=n$. Uvrštavanjem $y=m-x$ u drugu jednadžbu dobivamo da je $x$ racionalno rješenje jednadžbe

$$2x^2-2mx+m^2-n=0.$$

S druge strane, znamo da su rješenja te jednadžbe brojevi

$$\frac{2m\pm\sqrt{4m^2-8(m^2-n)}}{4} =\frac{m\pm\sqrt{2n-m^2}}{2}.$$

Stoga zaključujemo da je $\sqrt{2n-m^2}$ racionalan broj.

Kako je $2n-m^2$ cijeli broj, zaključujemo da je i $\sqrt{2n-m^2}$ cijeli broj.

Parnost broja $2n-m^2$ jednaka je parnosti broja $m$, pa je i parnost broja $\sqrt{2n-m^2}$ jednaka parnosti broja $m$.

Stoga su brojevi $m+\sqrt{2n-m^2}$ i $m-\sqrt{2n-m^2}$ parni, odnosno $\frac{m+\sqrt{2n-m^2}}{2}$ i $\frac{m-\sqrt{2n-m^2}}{2}$ su cijeli brojevi. Ovime zaključujemo da je $x$ cijeli broj, pa je i $y$ cijeli broj.