4. Zadatak

Neka su $x_1=a^3$ i $x_2=b^3$ rješenja dane kvadratne jednadžbe, pri čemu su $a$ i $b$ cijeli brojevi. Korištenjem Vieteovih formula slijedi

$$\begin{aligned} a^3+b^3&=19,\\ a^3b^3&=r. \end{aligned}$$

Faktorizacijom prve jednakosti dobivamo

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=19.$$

Slijedi da je $a+b$ djelitelj od $19$, pa je $a+b$ jednak $1$, $-1$, $19$ ili $-19$.

Primijetimo da je

$$a^2+b^2-ab=\frac{a^2+b^2+(a-b)^2}{2}\geq0,$$

pa zaključujemo da je $a+b$ jednak $1$ ili $19$.

Prvi slučaj. Ako je $a+b=1$, onda je $a^2+b^2-ab=19$. Uvrštavanjem $b=1-a$ dobivamo

$$a^2+(1-a)^2-a(1-a)=19.$$

Iz toga dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$a^2-a-6=0,$$

čija su rješenja $a=-2$ i $a=3$. Ako je $a=-2$, onda je $b=1-a=3$ i $r=a^3b^3=-216$. Ako je $a=3$, onda je $b=1-a=-2$ i ponovno slijedi $r=a^3b^3=-216$.

Drugi slučaj. Ako je $a+b=19$, onda je $a^2+b^2-ab=1$. Uvrštavanjem $b=19-a$ dobivamo

$$a^2+(19-a)^2-a(19-a)=1.$$

Iz toga dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$a^2-19a+120=0$$

koja nema realna rješenja. Zaključujemo da ovaj slučaj nije moguć.

Dakle, jedini mogući slučaj je $a+b=1$. U tom slučaju je $r=-216$ pa zaključujemo da je to jedini realan broj koji zadovoljava uvjet zadatka.