5. Zadatak

Označimo sa $r$ broj redaka, a sa $s$ broj stupaca tablice. Broj polja u tablici jednak je $r\cdot s$. Kako je zbroj brojeva u svakom retku jednak $1$, zaključujemo da je ukupan zbroj brojeva u tablici jednak $r$. Slično, kako je zbroj brojeva u svakom stupcu jednak $2$, zaključujemo da je ukupan zbroj brojeva u tablici jednak $2s$. Dakle, vrijedi $r=2s$.

Slijedi da je broj polja u tablici jednak $2s^2$.

(a) Ako tablica ima $200$ polja, onda je $2s^2=200$ i slijedi $s=10$, pa tablica treba imati $10$ stupaca i $20$ redaka.

Promotrimo tablicu dimenzija $20\times10$ kojoj je u svako polje upisan broj $\frac{1}{10}$.

Zbroj brojeva u svakom retku je jednak $10\cdot\frac{1}{10}=1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu je jednak $20\cdot\frac{1}{10}=2$. Zaključujemo da postoji tražena tablica s točno $200$ polja.

(b) Ako tablica ima $2000$ polja, onda je $2s^2=2000$ i slijedi $s=10\sqrt{10}$, što je nemoguće jer $s$ treba biti prirodni broj. Zaključujemo da ne postoji tražena tablica s točno $2000$ polja.