2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je najveći napisani prirodni broj $n$, a izbrisan broj $k$. Zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva iznosi $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Uvjet zadatka može se zapisati kao

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}-k}{n-1}=\frac{673}{18}.$$

Kada bi izbrisani broj $k$ bio $n$, dobili bismo najmanju moguću aritmetičku sredinu. Ona bi iznosila

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}-n}{n-1}=\frac n2,$$

i manja je ili jednaka dobivenoj aritmetičkoj sredini:

$$\frac n2\leq\frac{673}{18}.$$

Kada bi izbrisani broj $k$ bio $1$, dobili bismo najveću moguću aritmetičku sredinu. Ona bi iznosila

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}-1}{n-1}=\frac{n+1}{2},$$

i veća je ili jednaka dobivenoj aritmetičkoj sredini:

$$\frac{n+1}{2}\geq\frac{673}{18}.$$

Iz dobivenih nejednakosti slijedi $72<n<75$, odakle je $n=73$ ili $n=74$.

Ako je $n=73$, tada je

$$\frac{673}{18}=\frac{\frac{73\cdot(73+1)}{2}-k}{73-1}.$$

Odavde slijedi $k=9$.

Ako je $n=74$, dobivamo da je

$$\frac{673}{18}=\frac{\frac{74\cdot(74+1)}{2}-k}{74-1}.$$

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo da je $k=\dfrac{821}{18}$, što nije prirodan broj pa zaključujemo da $n$ ne može biti $74$.

Zaključujemo da je s ploče obrisan broj $9$.

Drugo rješenje.

Koristeći oznake i jednadžbu

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}-k}{n-1}=\frac{673}{18}$$

kao u prvom rješenju, uvjet možemo zapisati kao

$$74+\frac79=n+2\cdot\frac{n-k}{n-1}.$$

Kako je $k\leq n$, slijedi $\dfrac{n-k}{n-1}\geq\dfrac{n-n}{n-1}=0$.

Zato je $n\leq74+\dfrac79<75$.

Kako je $k\geq1$, slijedi $\dfrac{n-k}{n-1}\leq\dfrac{n-1}{n-1}=1$.

Zato je $n-2\leq74+\dfrac79>74$.

Iz dobivenih nejednakosti zaključujemo da su moguće vrijednosti za $n$ brojevi $73$ ili $74$, a te mogućnosti provjerimo kao u prošlom rješenju.