4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvjet zadatka možemo zapisati u obliku $(a+b+c)^3-a^3=b^3+c^3$. Primjenom razlike i zbroja kubova dobivamo

$$((a+b+c)-a)((a+b+c)^2+(a+b+c)a+a^2)=(b+c)(b^2-bc+c^2)$$ $$(b+c)(3a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)=(b+c)(b^2-bc+c^2)$$ $$(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)=0$$ $$(b+c)(a+b)(a+c)=0.$$

Jedan od faktora na lijevoj strani jednadžbe mora biti jednak nuli. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a+b=0$.

Tada koristeći $b=-a$ izraz iz tvrdnje zadatka možemo izraziti preko $a$ i $c$:

$$\begin{aligned} &(a+b)^2ab+(b+c)^2bc+(c+a)^2ca+4abc(a+b+c)\\ &=0+(-a+c)^2(-a)c+(c+a)^2ac+4a(-a)c(0+c)\\ &=-ac(a^2-2ac+c^2)+ac(a^2+2ac+c^2)-4a^2c^2\\ &=0, \end{aligned}$$

što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Raspišimo uvjet zadatka. Dobivamo redom

$$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3$$ $$a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)+6abc=a^3+b^3+c^3$$ $$3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc)=0$$ $$a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc=0.$$

Uvedimo oznaku $S=a+b+c$. Sada imamo

$$\begin{aligned} &(a+b)^2ab+(b+c)^2bc+(c+a)^2ca+4abc(a+b+c)\\ &=(S-c)^2ab+(S-a)^2bc+(S-b)^2ca+4Sabc\\ &=S^2(ab+bc+ca)-6Sabc+c^2ab+a^2bc+b^2ca+4Sabc\\ &=S^2(ab+bc+ca)-6Sabc+Sabc+4Sabc\\ &=S^2(ab+bc+ca)-Sabc\\ &=S(S(ab+bc+ca)-abc)\\ &=S((a+b+c)(ab+bc+ca)-abc)\\ &=S(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc-abc)\\ &=S(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc)\\ &=0, \end{aligned}$$

budući da je izraz u drugoj zagradi jednak nuli prema uvjetu zadatka.