5. Zadatak

Prvo rješenje.

Za svaku dijagonalu pravilnog deveterokuta postoje još dvije dijagonale i jedna stranica tog deveterokuta koje su sve međusobno paralelne. Posebno, svaka stranica i dijagonala paralelna je jednoj od $9$ stranica pravilnog deveterokuta.

Pretpostavimo tvrdnju suprotnu onoj iz zadatka: postoji odabir pet točaka takvih da nikojih četiri ne čine vrhove trapeza. Promotrimo taj izbor točaka.

Tih pet točaka određuje $\dfrac{5\cdot4}{2}=10$ dužina. Svaka od tih dužina paralelna je nekoj od $9$ stranica pravilnog deveterokuta. Prema Dirichletovom principu postoje dvije dužine koje su određene s dva para nekih od pet odabranih točaka te koje su paralelne istoj stranici deveterokuta, pa su posebno i međusobno paralelne.

Krajnje točke tih dviju dužine su sve međusobno različite jer bismo u suprotnom imali $3$ kolinearne točke među vrhovima pravilnog deveterokuta. Upravo te četiri točke čine vrhove trapeza (te paralelne dužine njegove su osnovice), čime je tvrdnja zadatka dokazana.

Drugo rješenje.

Označimo ponovno vrhove deveterokuta $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_9$ redom.

Pretpostavimo suprotno: postoji odabir pet točaka takvih da nikojih četiri ne čine vrhove trapeza. Promotrimo taj izbor točaka.

Prvo dokažimo da u tom odabiru postoje dvije susjedne točke deveterokuta. Fiksirajmo bilo koju neodabranu točku. Ostalih $8$ točaka možemo podijeliti u četiri para susjednih točaka deveterokuta. Prema Dirichletovom principu, među pet odabranih točaka postoje dvije koje su u istom paru, pa su zato susjedne.

Primijetimo da nikoje četiri točke od pet odabranih nisu uzastopne u deveterokutu, jer bi one činile vrhove trapeza.

Zato promotrimo dva slučaja: među pet odabranih točaka postoje tri uzastopne točke i među pet odabranih točaka nikoje tri točke nisu uzastopne.

U prvom slučaju neka su bez smanjenja općenitosti te tri uzatopne točke $A_1$, $A_2$ i $A_3$. Kako četiri uzastopne točke čine vrhove trapeza, $A_9$ i $A_4$ nisu odabrane točke. To znači da su među preostale četiri točke $A_5$, $A_6$, $A_7$ i $A_8$ dvije odabrane.

Te dvije preostale točke nisu uzastopne jer bi s $A_1$ i $A_2$ činile vrhove trapeza. Također, dvije preostale točke ne smiju biti odijeljene točno jednom točkom jer bi tada s $A_1$ i $A_3$ činile vrhove trapeza. Preostala je mogućnost da su te dvije točke $A_5$ i $A_8$, no one čine vrhove trapeza s točkama $A_1$ i $A_3$.

Promotrimo sada drugi slučaj: nikoje tri točke nisu uzastopne. Kako postoji par uzastopnih točaka među odabranima, neka su bez smanjenja općenitosti $A_1$ i $A_2$ odabrane točke. Točke $A_3$ i $A_9$ nisu odabrane jer bi imali niz triju uzastopnih točaka. To znači da su među preostalih pet točaka $A_4$, $A_5$, $A_6$, $A_7$ i $A_8$ tri odabrane.

Nikoje dvije odabrane točke od tih pet ne smiju biti uzastopne jer bi s $A_1$ i $A_2$ činile vrhove trapeza. Preostaje nam samo mogućnost da su odabrane točke $A_4$, $A_6$ i $A_8$, no one čine vrhove trapeza s $A_2$.

Ovime smo došli do kontradikcije, jer ne postoji odabir pet točaka među kojima ne postoje četiri koje čine vrhove trapeza, pa je tvrdnja zadatka dokazana.