3. Zadatak

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB|=2$ m i $|BC|=1$ m. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako bilijarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$ , odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Kutovi putanje prije i nakon odbijanja

Prvo rješenje.

Putanja bilijarske kugle u pravokutniku ABCD

Neka su $E$ , $F$ i $G$ redom točke u kojima se kugla odbija od stranica $\overline{CD}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ .

Uvjet odbijanja bilijarske kugle znači da vrijede jednakosti

\angle AED=\angle CEF, \qquad \angle EFC=\angle GFB, \qquad \angle FGB=\angle DGA.

Označimo s $l=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|$ duljinu putanje koju je prešla bilijarska kugla.

Promotrimo trokute $AGD$ i $DEA$ . To su pravokutni trokuti s pravim kutovima pri vrhovima $A$ i $D$ redom, imaju zajedničku katetu $\overline{AD}$ , a za kutove nasuprot te katete vrijedi

\angle DGA=\angle FGB=90^\circ-\angle GFB=90^\circ-\angle EFC=\angle FEC=\angle AED.

Zato se svi kutovi tih trokuta u parovima podudaraju, pa su ti trokuti sukladni prema K-S-K poučku o sukladnosti.

Iz te sukladnosti slijedi da je $|AE|=|DG|$ te $|AG|=|DE|$ , pa onda i $|BG|=|CE|$ .

Promotrimo pravokutne trokute $BGF$ i $CEF$ . Svi kutovi im se u parovima poklapaju (zbog $\angle EFC=\angle GFB$ ), te imaju jedan par stranica jednake duljine (zbog $|BG|=|CE|$ ). Zato su i oni sukladni prema K-S-K poučku o sukladnosti.

Zaključujemo da je

|CF|=|FB|=\frac12|BC|=\frac12\ \mathrm{m},

te $|EF|=|FG|$ .

Budući da je $\angle DGA=\angle FGB$ , pravokutni trokuti $DGA$ i $FGB$ su slični. Zato vrijedi

\frac{|DG|}{|FG|}=\frac{|AG|}{|GB|}=\frac{|FB|}{|DA|}=\frac12.

Zajedno s $|AG|+|GB|=2$ m dobivamo $|BG|=\dfrac23$ m.

Duljina putanje koju je prešla bilijarska kugla iznosi

\begin{aligned} l&=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|\\ &=|GD|+|FG|+|FG|+|GD|\\ &=2|FG|+|FG|+|FG|+2|FG|\\ &=6|FG|. \end{aligned}

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $FGB$ dobivamo

|FG|=\sqrt{|FB|^2+|GB|^2}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac23\right)^2}\ \mathrm{m}=\frac56\ \mathrm{m},

odakle je $l=5$ m.

Drugo rješenje.

Razvijena putanja bilijarske kugle osnim simetrijama

Neka su točke $E$ , $F$ i $G$ dane kao u prošlom rješenju, te $l$ duljina putanje bilijarske kugle.

Neka je $A_1B_1C_1D_1$ osnosimetrična slika pravokutnika $ABCD$ u odnosu na pravac $CD$ . Dodatno, istom osnom simetrijom preslikajmo i putanju bilijarske kugle nakon točke $E$ ( $E\to F\to G\to D$ ) u putanju $E\to F_1\to G_1\to D_1$ . Zbog osne simetrije i uvjeta odbijanja bilijarske kugle vrijedi

\angle F_1EC=\angle FEC=\angle AED.

Kutovi kod vrha $E$ se podudaraju pa su točke $A$ , $E$ i $F_1$ kolinearne.

Posebno, vrijedi $|AE|+|EF_1|=|AF_1|$ . Osna simetrija čuva duljine dužina, pa vrijedi

\begin{aligned} l&=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|\\ &=|AE|+|EF_1|+|F_1G_1|+|G_1D_1|\\ &=|AF_1|+|F_1G_1|+|G_1D_1|. \end{aligned}

Neka su $A_2B_2C_2D_2$ i točka $G_2$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_1B_1C_1D_1$ i točke $G_1$ redom u odnosu na pravac $B_1C_1$ , te $A_3B_3C_3D_3$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_2B_2C_2D_2$ u odnosu na pravac $A_2D_2$ .

Na sličan način se pokazuje da su točke $G_2$ i $D_3$ na istom pravcu na kojem su točke $A$ , $E$ i $F_1$ . Zaključujemo da se preostali dijelovi putanje kugle nizom osnih simetrija preslikavaju tako da čine dužinu koja spaja $A$ i $D_3$ , pa je ukupna duljina putanje kugle jednaka $l=|AD_3|$ .

Neka je $T$ osnosimetrična slika točke $A$ u odnosu na pravac $BC$ . Dužina $\overline{AD_3}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $ATD_3$ kojemu su duljine kateta $2|AB|=4$ m i $3|BC|=3$ m pa je

l=|AD_3|=\sqrt{4^2+3^2}\ \mathrm{m}=5\ \mathrm{m}.