3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $E$, $F$ i $G$ redom točke u kojima se kugla odbija od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$.

Uvjet odbijanja bilijarske kugle znači da vrijede jednakosti

$$\angle AED=\angle CEF, \qquad \angle EFC=\angle GFB, \qquad \angle FGB=\angle DGA.$$

Označimo s $l=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|$ duljinu putanje koju je prešla bilijarska kugla.

Promotrimo trokute $AGD$ i $DEA$. To su pravokutni trokuti s pravim kutovima pri vrhovima $A$ i $D$ redom, imaju zajedničku katetu $\overline{AD}$, a za kutove nasuprot te katete vrijedi

$$\angle DGA=\angle FGB=90^\circ-\angle GFB=90^\circ-\angle EFC=\angle FEC=\angle AED.$$

Zato se svi kutovi tih trokuta u parovima podudaraju, pa su ti trokuti sukladni prema K-S-K poučku o sukladnosti.

Iz te sukladnosti slijedi da je $|AE|=|DG|$ te $|AG|=|DE|$, pa onda i $|BG|=|CE|$.

Promotrimo pravokutne trokute $BGF$ i $CEF$. Svi kutovi im se u parovima poklapaju (zbog $\angle EFC=\angle GFB$), te imaju jedan par stranica jednake duljine (zbog $|BG|=|CE|$). Zato su i oni sukladni prema K-S-K poučku o sukladnosti.

Zaključujemo da je

$$|CF|=|FB|=\frac12|BC|=\frac12\ \mathrm{m},$$

te $|EF|=|FG|$.

Budući da je $\angle DGA=\angle FGB$, pravokutni trokuti $DGA$ i $FGB$ su slični. Zato vrijedi

$$\frac{|DG|}{|FG|}=\frac{|AG|}{|GB|}=\frac{|DA|}{|FB|}=2.$$

Zajedno s $|AG|+|GB|=2$ m dobivamo $|BG|=\dfrac23$ m.

Duljina putanje koju je prešla bilijarska kugla iznosi

$$\begin{aligned} l&=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|\\ &=|GD|+|FG|+|FG|+|GD|\\ &=2|FG|+|FG|+|FG|+2|FG|\\ &=6|FG|. \end{aligned}$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $FGB$ dobivamo

$$|FG|=\sqrt{|FB|^2+|GB|^2}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac23\right)^2}\ \mathrm{m}=\frac56\ \mathrm{m},$$

odakle je $l=5$ m.

Drugo rješenje.

Neka su točke $E$, $F$ i $G$ dane kao u prošlom rješenju, te $l$ duljina putanje bilijarske kugle.

Neka je $A_1B_1C_1D_1$ osnosimetrična slika pravokutnika $ABCD$ u odnosu na pravac $CD$. Dodatno, istom osnom simetrijom preslikajmo i putanju bilijarske kugle nakon točke $E$ ($E\to F\to G\to D$) u putanju $E\to F_1\to G_1\to D_1$. Zbog osne simetrije i uvjeta odbijanja bilijarske kugle vrijedi

$$\angle F_1EC=\angle FEC=\angle AED.$$

Kutovi kod vrha $E$ se podudaraju pa su točke $A$, $E$ i $F_1$ kolinearne.

Posebno, vrijedi $|AE|+|EF_1|=|AF_1|$. Osna simetrija čuva duljine dužina, pa vrijedi

$$\begin{aligned} l&=|AE|+|EF|+|FG|+|GD|\\ &=|AE|+|EF_1|+|F_1G_1|+|G_1D_1|\\ &=|AF_1|+|F_1G_1|+|G_1D_1|. \end{aligned}$$

Neka su $A_2B_2C_2D_2$ i točka $G_2$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_1B_1C_1D_1$ i točke $G_1$ redom u odnosu na pravac $B_1C_1$, te $A_3B_3C_3D_3$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_2B_2C_2D_2$ u odnosu na pravac $A_2D_2$.

Na sličan način se pokazuje da su točke $G_2$ i $D_3$ na istom pravcu na kojem su točke $A$, $E$ i $F_1$. Zaključujemo da se preostali dijelovi putanje kugle nizom osnih simetrija preslikavaju tako da čine dužinu koja spaja $A$ i $D_3$, pa je ukupna duljina putanje kugle jednaka $l=|AD_3|$.

Neka je $T$ osnosimetrična slika točke $A$ u odnosu na pravac $BC$. Dužina $\overline{AD_3}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $ATD_3$ kojemu su duljine kateta $2|AB|=4$ m i $3|BC|=3$ m pa je

$$l=|AD_3|=\sqrt{4^2+3^2}\ \mathrm{m}=5\ \mathrm{m}.$$