4. Zadatak

Označimo početni izraz s $I$. Primijetimo da je

$$\begin{aligned} I&=\frac{a^2+b^2+ab-4a-2b+7}{a^2+b^2-4a+6} =1+\frac{ab-2b+1}{a^2+b^2-4a+6}\\ &=1+\frac{(a-2)b+1}{(a-2)^2+b^2+2}. \end{aligned}$$

Korištenjem $[(a-2)-b]^2\geq0$, što vrijedi jer je kvadrat realnog broja uvijek nenegativan, dobivamo

$$2(a-2)b\leq(a-2)^2+b^2,$$

odnosno

$$\frac{(a-2)b+1}{(a-2)^2+b^2+2}\leq\frac12.$$

Zato vrijedi

$$I=1+\frac{(a-2)b+1}{(a-2)^2+b^2+2}\leq1+\frac12=\frac32.$$

Jednakost se postiže za bilo koje realne brojeve za koje vrijedi $a-2-b=0$ i tada početni izraz poprima najveću moguću vrijednost $\frac32$.