2. Zadatak

Označimo s $\alpha$ mjeru kuta $\angle BAD$. Tada je i $\angle GED=\alpha$, jer se radi o kutovima s okomitim kracima. Zato su trokuti $AEG$, $ABD$ i $EDG$ pravokutni trokuti kojima je po jedan šiljasti kut jednak, pa su svi slični po K-K poučku o sličnosti trokuta.

Iz sličnosti trokuta $AEG$ i $EDG$ dobivamo

$$\frac{|AG|}{|EG|}=\frac{|EG|}{|GD|},$$

odakle je $|EG|^2=|AG|\cdot|GD|=8$, odnosno $|EG|=2\sqrt2$.

Iz sličnosti trokuta $AEG$ i $ABD$ dobivamo omjer

$$\frac{|AG|}{|EG|}=\frac{|AD|}{|BD|},$$

pa zaključujemo da je

$$|BD|=\frac{|AD|}{|AG|}\cdot|EG|=\frac32|EG|=3\sqrt2.$$

Analogno, po K-K poučku o sličnosti trokuta zaključujemo da su pravokutni trokuti $AFH$, $ACD$ i $FDH$ slični, jer su $\angle DAC$ i $\angle HFD$ kutovi s okomitim kracima.

Kao kod računa duljine $|EG|$, iz sličnosti trokuta $AFH$ i $FDH$ dobivamo

$$|HF|=2\sqrt2,$$

a iz sličnosti trokuta $AFH$ i $ACD$ slijedi $|DC|=3|HF|=6\sqrt2$.

Konačno, za površinu trokuta $ABC$ vrijedi

$$P=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2} =\frac{(|BD|+|DC|)\cdot(|AH|+|HG|+|GD|)}{2} =\frac{9\sqrt2\cdot6}{2} =27\sqrt2.$$