3. Zadatak

Označavamo s $n!$ umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva. Zadatak je odrediti prirodne brojeve $m$, $n$ i $k$ takve da je

$$n!-m!=600^k.$$

Iz jednadžbe mora vrijediti $n!>600^k\geq600>120=5!$, pa zaključujemo da je $n\geq6$.

Broj $n!$ umnožak je nekoliko prirodnih brojeva uključujući i broj $5$. To znači da su $n!$ i $600^k$ djeljivi s $5$, pa je nužno i $m!$ djeljiv s $5$. To će biti samo u slučaju ako $m!$ u sebi ima faktor djeljiv s $5$, što je moguće samo ako je $m\geq5$.

Kada bi bilo $m\geq7$, zbog $n>m$ imali bismo da u umnošku prvih $n$ i prvih $m$ prirodnih brojeva imamo broj djeljiv sa $7$, pa je lijeva strana jednadžbe djeljiva sa $7$. Međutim, broj $600^k$ nije djeljiv sa $7$, pa zaključujemo da je nužno $m\leq6$. Dakle, imamo da je $m=5$ ili $m=6$.

Provjerimo slučajeve kada je $k=1$: ako je $m=5$, tada je $n!=600+120=720$, odnosno $n=6$, čime smo dobili jedno rješenje jednadžbe; ako je $m=6$, tada je $n!=600+720=1320$, što nema rješenja.

Nadalje, pretpostavljamo da je $k\geq2$. Promotrimo prvo slučaj kada je $m=5$. Dijeljenjem početne jednadžbe sa $120$, odnosno umnoškom prvih $5$ prirodnih brojeva, dobivamo

$$n(n-1)\cdot\ldots\cdot6-1=5\cdot600^{k-1}.$$

Kako je $k\geq2$ desna strana je parna. Također, kako je $n>m=5$, odnosno $n\geq6$, imamo da je lijeva strana neparna pa zaključujemo da ova jednadžba nema rješenja.

Ako je $m=6$, jednadžbu sada možemo pisati kao

$$n(n-1)\cdot\ldots\cdot6-6=5\cdot600^{k-1}.$$

Desna strana jednadžbe djeljiva je s $4$, pa mora biti i lijeva. Kako $6$ nije djeljiv s $4$, ne smije biti ni prvi izraz, a to će biti samo ako je $n<8$.

Kako je $n>m=6$, preostao je samo slučaj $n=7$. No tada broj $n!-m!=7!-6!=4320$ nije potencija broja $600$.

Konačno, jedini takvi prirodni brojevi $n$ i $m$ su $n=6$ i $m=5$.